Paillier-Kryptosystem

Das Paillier-Kryptosystem wurde 1999 von Pascal Paillier an der Eurocrypt vorgestellt^[1]. Es handelt sich dabei um ein asymmetrisches Kryptosystem, dessen Sicherheit darauf beruht, dass für einen zusammengesetzten Modul n nicht effizient geprüft werden kann, ob ein Element in $(\mathbb{Z}/n^2\mathbb{Z})$ eine n-te Wurzel modulo n² besitzt oder nicht. Eine besondere Eigenschaft des Paillier-Kryptosystems ist, dass zwei verschlüsselte Nachrichten addiert werden können, ohne die Nachrichten vorher zu entschlüsseln.

Das Verfahren wird oft als Nachfolger des Okamoto–Uchiyama-Kryptosystems bezeichnet. Des Weiteren ist es ein Spezialfall des Damgård–Jurik-Kryptosystems.

Verfahren

Im folgenden beschreiben wir die Schlüsselerzeugung, und die Algorithmen zur Ver- und Entschlüsselung von Nachrichten.

Erzeugung des öffentlichen und privaten Schlüssels

Das Schlüsselpaar wird folgendermaßen generiert:

• Man generiert zwei zufällige Primzahlen p,q, sodass $\operatorname{ggT}(pq, (p-1)(q-1))=1$ gilt. In der Praxis sollte n zumindest 1024, besser jedoch 1536 oder 2048 Binärstellen haben. Man setzt dann n = pq sowie $\lambda=\operatorname{kgV}(p-1,q-1)$.
• Man wählt g zufällig in $(\mathbb{Z}/n^2\mathbb{Z})^*$, sodass n die Ordnung von g teilt.

Der öffentliche Schlüssel besteht aus (n,g), der private Schlüssel aus (λ).

Vereinfachung: Die Schlüsselerzeugung kann auch folgendermaßen vereinfacht werden:

• Man wählt einen Sicherheitsparameter k, und die beiden Primzahlen p,q zufällig in ${\left\{1 || \{0,1\}^{s-1}\right\}}$, also mit gleicher Bitlänge.
• Man definiert g = n + 1, sowie λ = (p − 1)(q − 1).

Verschlüsseln von Nachrichten

Um eine Nachricht $m\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ zu verschlüsseln, verfährt man wie folgt:

• Zuerst wählt man ein zufälliges $r\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$.
• Die verschlüsselte Nachricht ist dann gegen durch $c=g^m r^n \mod n^2$.

Entschlüsseln von Nachrichten (Decodierung)

Zum Entschlüsseln definiert man zuerst die Funktion $L(x) = \frac{x-1}{n}$. Für einen Schlüsseltext $c\in (\mathbb{Z}/n^2\mathbb{Z})^*$ verfährt man dann wie folgt:

• Man setzt $m = \frac{L(c^{\lambda} \mod n^{2})}{L(g^{\lambda}\mod n^2)}\mod n$, wobei L() die logarithmische Funktion von oben ist.

Im diesem Schritt ist zu beachten, dass die Division modulo n durchgeführt werden muss, dh., durch Multiplikation mit dem multiplikativ Inversen. Die Division in der Berechnung der logarithmischen Funktion L() wird über den ganzen Zahlen ausgeführt.

Vereinfachung: Hat man die vereinfachte Variante der Schlüsselgenerierung gewählt, ergibt sich die Entschlüsselung zu:

• Man setzt $m = \frac{L(c^{\lambda} \mod n^{2})}{\lambda}\mod n$, wobei die Division wieder modulo n zu verstehen ist.

Sicherheit

Unter der Decisional Composite Residuosity-Annahme kann gezeigt werden, dass das Verfahren semantisch sicher gegen gewählte-Klartext Angriffe ist. Diese Annahme besagt, dass für einen zusammengesetzten Modul n nicht effizient geprüft werden kann, ob ein $(\mathbb{Z}/n^2\mathbb{Z})$ eine n-te Wurzel modulo n² besitzt oder nicht.

Homomorphieeigenschaften

Das Paillier-Kryptosystem ist additiv-homomorph, wodurch durch Operationen auf Schlüsseltexte unbekannte Klartexte addiert werden können:

• Durch Multiplikation von zwei Schlüsseltexten c₁,c₂ werden die verschlüsselten Klartexte m₁,m₂ addiert:

$g^{m_1} r_1^n \cdot g^{m_2} r_2^n = g^{m_1+m_2} (r_1r_2)^n = g^{m_1+m_2} r'^n\mod n$.

Dabei sind manchmal zwei Sonderfälle von besonderem Interesse:

• Durch Multiplikation eines Schlüsseltextes c mit g^Δm kann ein beliebiger Wert Δm zum verschlüsselten Klartext m addiert werden:

$g^m r^n \cdot g^{\Delta m} = g^{m+\Delta m} r^n\mod n$

• Durch Multiplikation eines Schlüsseltextes c mit Δrⁿ kann ein eine Verschlüsselung von m erneut randomisiert werden, ohne die Nachricht m zu ändern:

$g^m r^n \cdot \Delta r^n = g^m (r\Delta r)^n = g^m r'^n \mod n$

• Durch Exponentiation eines Schlüsseltexts c mit einer natürlichen Zahl w kann die verschlüsselte Nachricht m ver-w-facht werden

$(g^{m} r^n)^w = g^{wm} (r^w)^n = g^{wm} r'^n\mod n$.

Allerdings gibt es keine bekannte Möglichkeit, um durch Operationen auf zwei Schlüsseltexten die enthaltenen Nachrichten miteinander zu multiplizieren.

Vorteile

Die homomorphen Eigenschaften werden u.a. im Zusammenhang mit den folgenden Anwendungen ausgenützt.

• E-Voting: Nachdem jeder Wahlberechtigte seine Stimme (im einfachsten Fall eine 1 für ja, eine 0 für nein) verschlüsselt und an die Wahlbehörde übermittelt hat, werden alle Schlüsseltexte multipliziert, und die resultierende Verschlüsselung enthält die Verschlüsselung der Gesamtanzahl an Ja-Stimmen. Durch Entschlüsseln erhält man nun das Wahlergebnis. Wichtig ist, dass die den ersten Schritt ausführende Partei keine Kenntnis des geheimen Schlüssels benötigt, wodurch keine einzelnen Stimmen entschlüsselt werden können.
• eCash
• Zero-Knowledge Beweise im Universal Composability Modell

Nachteile

Aufgrund der angeführten Homomorphieeigenschaften ist das Verfahren allerdings nicht IND-CCA sicher, dh. nicht sicher unter gewählten Schlüsseltext-Angriffen. Jedes Verschüsselungssystem, das diese Sicherheit besitzt müsste nämlich auch nicht-verformbar sein, eine Eigenschaft die zur Homomorphie im Widerspruch steht. In der Literatur findet man auch Transformationen, das Paillier-Kryptosystem in eine IND-CCA sichere Variante zu transformieren^[2][3]. Ob diese Transformationen angebracht sind oder nicht, ist von der jeweiligen Anwendung abhängig.

Vollständiges Beispiel

Die oben angeführten Schritte sollen hier an einem kleinen Beispiel veranschaulicht werden.

Schlüsselerzeugung

Zunächst wählen wir den Sicherheitsparameter k = 10, und wählen p = 1.019 und q = 883. Dies erlaubt uns nun, die vereinfachte Variante der Schlüsselerzeugung zu wählen. Damit erhalten wir:

n = p*q = 899777
g = n+1 = 899778
λ = (p-1)*(q-1) = 897876

Der öffentliche Schlüssel ist damit gegeben durch: (n,g) = (899.777,899.778).

Der geheime Schlüssel lautet (λ) = (897.876).

Vorarbeiten

In einem ersten Schritt muss der zu verschlüsselnde Text in Zahlen kleiner als n übersetzt werden. Wir ersetzen dazu einfach jeden Buchstaben durch seine Position im Alphabet:

A=01 B=02 C=03 usw. (00 = Leerzeichen)

Wir verschlüsseln nun je drei Zeichen auf einmal, da vier aufeinanderfolgende Buchstaben u.U. einen zu großen Wert liefern könnten.

Klartext:  P  A  I  L  L  I  E  R
Kodierung: 16 01 09 12 12 09 05 18 00

Verschlüsselung

Wir haben drei zu verschlüsselnde Klartexte (m₁ = 160109, m₂ = 121209 und m₃ = 051900), für die wir jeweils ein $r_i\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ benötigen.

r1 =  12312
r2 = 623543
r3 = 215688

Die Verschlüsselungen c_i ergeben sich damit zu:

ci = gmirin mod n2
c1 = 899778160109 12312899777 mod 809598649729 = 594091908920
c2 = 508000332395
c3 = 8964598855

Entschlüsselung

Da wir zur Schlüsselgenerierung die vereinfachte Variante gewählt hatte, können wir die Nachrichten entschlüsseln durch:

mi = L(ciλ mod n2) / λ mod n

Wichtig ist hier, dass die Division $\mod n$ ausgeführt wird. Wir berechnen daher mittels des erweiterten Euklidischen Algorithmus das multiplikative Inverse von λ modulo n, und erhalten damit $\lambda^{-1} = 141522\mod n$. Damit ergibt sich die Entschlüsselung zu:

m1 = L(594091908920897876 mod 809598649729 ) * 141522 mod 899777 = 160109
m2 = 121209
m3 = 051900

Durch Invertierung der Substitutionsvorschrift kann man diese Werte nun wieder in Buchstaben übersetzen.

Weblinks

• thep implementiert das Paillier-Kryptosystem in Java.

Referenzen

1. ↑ Pascal Paillier: Public-Key Cryptosystems Based on Composite Degree Residuosity Classes (englisch). In: Eurocrypt 99, Springer Verlag, 1999, S. 223-238. 
2. ↑ Eiichiro Fujisaki und Tatsuako Okamoto: How to Enhance the Security of Public-Key Encryption at Minimum Cost (englisch). In: PKC 99, Springer Verlag, 1999, S. 53-68. 
3. ↑ Pascal Paillier und David Pointcheval: Efficient Public-Key Cryptosystems Provably Secure Against Active Adversaries (englisch). In: ASIACRYPT 99, Springer Verlag, 1999, S. 165-179.