D/q-Transformation

Die d/q-Transformation, auch als dq-, dq0- und als Park-Transformation bezeichnet, dient dazu, dreiphasige Größen wie bei einer Drehstrommaschine mit den Achsen U,V,W in ein zweiachsiges Koordinatensystem mit den Achsen d und q zu überführen. Sie ist ein Teil der mathematischen Grundlagen zur Vektorregelung von Drehstrommaschinen und beschreibt eine von mehreren möglichen Raumzeigerdarstellungen. Im Gegensatz zur verwandten Clarke-Transformation rotiert das d/q-Koordinatensystem im stationären Fall mit dem Rotor und das Wertepaar d/q stellt dann zeitlich konstante Größen dar. Die Grundform der d/q-Transformation wurde erstmals 1929 von R. H. Park formuliert.^[1]

Allgemeines

Anordnung der im Stator angebrachten Spulen im sogenannten statorfesten αβ-Koordinatensystem.

Ein Dreiphasensystem wird in der komplexen Ebene durch drei Koordinaten U, V und W, die jeweils um einem Winkel von 120° Grad versetzt sind, beschrieben. Sie entsprechen den drei Spulen des ruhenden Stators einer Drehfeldmaschine, wobei definitionsgemäß die Achse U mit der reellen Achse zusammenfällt, wie in erster Abbildung des statorfesten αβ-Koodinatensystems der Clarke-Transformation dargestellt. Durch diese Spulen fließende Ströme I_U, I_V und I_W sind bei einem symmetrischen Dreiphasensystem in Summe immer 0.

Raumzeigerdarstellung im d/q-Koordinatensystem

Bei der d/q-Transformation wird das Koordinatensystem mit den aufeinander rechtwinkelig stehenden Achsen d und q mit der Kreisfrequenz Ω_rotor mit dem Rotor mitrotiert, wie in zweiter Abbildung dargestellt. Damit kann das Drehfeld bei konstanter Drehzahl in Form zweier zeitlich konstanter Größen d und q beschrieben werden. Der Wert d bildet die magnetische Flussdichte der magnetische Erregung im Rotor ab, und q ist ein Ausdruck für das vom Rotor erzeugte Drehmoment. Zeitliche Änderungen wie der Drehzahl oder Momentschwankungen resultieren in zeitlichen Änderungen von d bzw. q. Der Vorteil der Transformation besteht darin, dass Drehfeldmaschinen ähnlich einfach wie Gleichstrommaschinen mit einem PI-Regler geregelt werden können.

Um das d/q-Koordinatensystem mit korrekter Winkelgeschwindigkeit und Phasenlage mit dem Rotor mitrotieren zu lassen, ist es notwendig die genaue Lage in Form des Winkel θ des Rotors zu kennen. Diese für die Transformation wesentliche Information kann mit zusätzlich an der Maschine angebrachten Sensoren wie Hall- oder optische Sensoren, oder durch Rückkopplungen wie die Auswertung der elektromotorischen Kraft (EMK) an der Statorwicklung gewonnen werden.

Die Transformation ist nicht nur auf die elektrischen Ströme beschränkt, sondern kann für alle anderen elektrischen Größen wie die dabei auftretenden elektrischen Spannungen oder die magnetischen Flussdichte analog angewandt werden.

Gleichungen

Die d/q-Transformation ist gegeben als:

$\begin{bmatrix}I_d\\I_q\end{bmatrix} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta - \frac{2\pi}{3}) & \cos(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\ \sin(\theta)&\sin(\theta - \frac{2\pi}{3}) & \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix}$

Die inverse d/q-Transformation lautet:

$\begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \cos(\theta - \frac{2\pi}{3}) & \sin(\theta - \frac{2\pi}{3}) \\ \cos(\theta + \frac{2\pi}{3}) & \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_d\\I_q\end{bmatrix}$

Wird die d/q-Transformation über den „Umweg“ einer zuvor durchgeführten Clarke-Transformation und den daraus gewonnenen Parametern I_α und I_β durchgeführt, mitunter wird dieser Weg aus didaktischen Gründen in der Lehre gewählt, reduziert sich die d/q-Transformation auf eine Drehmatrix:

$\begin{bmatrix}I_d\\I_q\end{bmatrix} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_\alpha \\I_\beta\end{bmatrix}$

Erweiterung

Bei einem nicht im Gleichgewicht befindlichen Dreiphasensystem kann durch Hinzufügen eines dritten Parameters I₀ im Rahmen der Theorie der symmetrischen Komponenten die d/q-Transformation zu der dq0-Transformation erweitert werden. I₀ ist die Summe der drei Phasenströme:

$I_0 =\sqrt{\frac{1}{3}}(I_U + I_V + I_W)$

mit der dann auch für nicht im Gleichgewicht befindlichen Dreiphasensystemen gültigen dq0-Transformation:

$\begin{bmatrix}I_d\\I_q\\I_0\end{bmatrix} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} \cos(\theta) &\cos(\theta - \frac{2\pi}{3}) & \cos(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\ \sin(\theta) &\sin(\theta - \frac{2\pi}{3}) & \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\ \frac{\sqrt{2}}{2} &\frac{\sqrt{2}}{2} &\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix}$

und der dazu inversen dq0-Tansformation:

$\begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos(\theta - \frac{2\pi}{3}) & \sin(\theta - \frac{2\pi}{3}) & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos(\theta + \frac{2\pi}{3}) & \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_d\\I_q\\I_0\end{bmatrix}$

Die von R.H.Park 1929 publizierte Version weist, im Gegensatz zur obigen leistungsinvarianten Transformation, unterschiedliche Vorfaktoren in den Gleichungen auf.

Literatur

• Padmaraja Yedamale: Feldorientierte Steuerung ohne Sensor - Leiser und effizienter per BLDC-Motor. elektronik industrie Nr. 12, 2008, S. 38 bis 41 (online).

Einzelnachweise

1. ↑ R. H. Park: Two Reaction Theory of Synchronous Machines. AIEE Transactions, Vol. 48, 1929, S. 716 bis 730 (online).