Primonengas

Das Primonengas ist ein Beispielmodell, das einzelne Konzepte aus der Quantentheorie, der Physik der Wärme und der Zahlentheorie verbindet. Es besteht aus hypothetischen Teilchen, den Primonen, die so heißen, weil ihre Energie von Primzahlen bestimmt wird.

Übersicht

Die Idee des Primonengases geht zurück auf Bernard Julia ^[1].

Primonen sind Bosonen und wechselwirken nicht miteinander, beispielsweise stoßen sie nicht miteinander zusammen.

Quantentheoretische Beschreibung

Einzelnes Primon

Die Eigenzustände der einzelnen Teilchen haben Energien, die proportional zu den Logarithmen log p der Primzahlen sind:

$H |p\rangle = E_p |p\rangle$

mit

E_p = E₀log p.

Bei dieser „Nummerierung“ der Eigenzustände mit einer Teilmenge der natürlichen Zahlen werden keine Eigenzustände „weggelassen“; sie ist lediglich eine praktische Namensgebung.

Vielteilchensystem

Ein Eigenzustand eines Systems aus beliebig vielen Primonen kann, da es sich um Bosonen handelt, so beschrieben werden: im Zustand zur Primzahl p befinden sich k_p Teilchen (Fockraum).

Dies ist analog zur Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n, bei der der Primfaktor p in der k_p-ten Potenz auftritt. Da jede natürliche Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat (Fundamentalsatz der Arithmetik), entspricht jeder natürlichen Zahl n ein Zustand des Primonengases und umgekehrt. Die Zahl n enthält dabei die gesamte Information über die Besetzungszahlen der Einteilchenzustände (sie ist aber nicht die Gesamtzahl der Primonen). Es liegt daher nahe, den Zustand durch diese Zahl n zu benennen.

$|n\rangle = |k_2, k_3, k_5, k_7, k_{11} \ldots, k_p \ldots\rangle$

mit

$n = 2^{k_2} \cdot 3^{k_3} \cdot 5^{k_5} \cdot 7^{k_7} \cdot 11^{k_{11}} \ldots p^{k_p} \ldots$

Die Energie des Vielteilchenzustandes ist

$E(n) = \sum_p k_p E_p = E_0 \cdot \sum_p k_p \log p = E_0 \log n$

Beispiele

• Der Zustand $|1\rangle$ enthält keine Primonen und hat die Gesamtenergie 0.
• Der Zustand $|256\rangle$ enthält acht Teilchen im Zustand 2 (dem niedrigsten Einteilchenzustand) und hat die Energie log(256)E₀.
• Der Zustand $|360\rangle$ enthält drei Teilchen im Zustand 2, zwei Teilchen im Zustand 3 und ein Teilchen im Zustand 5. Die Gesamtenergie ist log(360)E₀.

Thermodynamische Beschreibung

Die Zustandssumme Z ist gleich der Riemannschen Zeta-Funktion:

$Z(T) := \sum_{n=1}^\infty \exp \left(\frac{-E(n)}{k_B T}\right) = \sum_{n=1}^\infty \exp \left(\frac{-E_0 \log n}{k_B T}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta (s)$

Dabei ist s = E₀ / k_BT, k_B die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur in Kelvin. Die Divergenz der Zeta-Funktion bei s = 1 entspricht der Divergenz der Zustandssumme bei der Hagedorn-Temperatur T = E₀ / k_B.

Fermionen

Man kann alternativ auch fermionische Primonen betrachten.

Dabei kann jeder Einteilchenzustand nur einmal besetzt sein. Auch dies führt zu einer interessanten zahlentheoretischen Aussage: die Zahlen n müssen dann nämlich quadratfrei sein.

Einzelnachweise

1. ↑ Bernard L. Julia: Statistical theory of numbers. In: J. M. Luck, P. Moussa, M. Waldschmidt (Hrsg.): Number Theory and Physics. Proceedings of the Winter School, Les Houches, France, March 7-16, 1989' (Springer Proceedings in Physics, Vol. 47) Springer, Berlin 1990, ISBN 0387521291, S. 276–293.

Weblinks

• John Baez: This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 199. 8. Dezember 2003 (engl.)