- Quadratfrei
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Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung
einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf.
Beispielsweise ist die Zahl
quadratfrei, während
nicht quadratfrei ist. Die ersten quadratfreien Zahlen sind
Eigenschaften
Eine Zahl n ist genau dann quadratfrei, wenn der Restklassenring
reduziert ist, das heißt wenn außer der Null kein nilpotentes Element enthalten ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist gleich
, wobei ζ die Riemannsche Zetafunktion ist. Genauer: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichverteilt aus
gewählte natürliche Zahl quadratfrei ist, konvergiert für
gegen
.
Allgemeine Definition
Sei R ein faktorieller Ring. Ein von 0 verschiedenes Element
heißt quadratfrei, wenn in seiner bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten des Rings eindeutigen Primfaktorisierung
(wobei ε eine Einheit des Rings ist) alle von Null verschiedenen Exponenten αi gleich 1 sind.
Sei
und P'(x) die formale Ableitung, dann ist P(x) quadratfrei wenn
ist. Somit ist für beliebiges P(x) das Polynom
immer quadratfrei.
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