Quadratfrei

Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung $n=p_1\cdot\ldots\cdot p_k$ einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf.

Beispielsweise ist die Zahl $6 = 2 \cdot 3$ quadratfrei, während $54 = 2 \cdot 3^2 \cdot 3$ nicht quadratfrei ist. Die ersten quadratfreien Zahlen sind

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, … (Folge A005117 in OEIS)

Eigenschaften

Eine Zahl n ist genau dann quadratfrei, wenn der Restklassenring $\mathbb Z/n\mathbb Z$ reduziert ist, das heißt wenn außer der Null kein nilpotentes Element enthalten ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist gleich $\frac{1}{\zeta(2)} = \frac 6{\pi^2} \approx 0{,}608$, wobei ζ die Riemannsche Zetafunktion ist. Genauer: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichverteilt aus $\{1, \dots, N\}$ gewählte natürliche Zahl quadratfrei ist, konvergiert für $N\rightarrow\infty$ gegen $\textstyle\frac{1}{\zeta(2)}$.

Allgemeine Definition

Sei R ein faktorieller Ring. Ein von 0 verschiedenes Element $x\in R$ heißt quadratfrei, wenn in seiner bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten des Rings eindeutigen Primfaktorisierung $x=\varepsilon \cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$ (wobei ε eine Einheit des Rings ist) alle von Null verschiedenen Exponenten α_i gleich 1 sind.

Sei $P(x) \in R:=K[X]$ und P'(x) die formale Ableitung, dann ist P(x) quadratfrei wenn $\operatorname{ggT} \left(P(x),P'(x)\right)=1$ ist. Somit ist für beliebiges P(x) das Polynom $Q(x)= \frac{ P(x) }{ \operatorname{ggT}\left(P(x),P'(x)\right) }$ immer quadratfrei.