Streng nicht-palindromische Zahl

Eine streng nicht-palindromische Zahl ist eine natürliche Zahl n, die in keinem Stellenwertsystem ein Zahlenpalindrom ist, dessen Basis b im Bereich $2\le b\le n-2$ liegt.

Die obere Grenze n − 2 für die Größe der Basis ist notwendig, um die Folge nichttrivial zu halten, da

• jede Zahl n (größer 1) zu jeder Basis b > n als eine einstellige (also auch palindromische) Zahl geschrieben wird;
• jede Zahl n (größer 2) zur Basis n als 10, also nicht-palindromisch geschrieben wird;
• jede Zahl n (größer 3) zur Basis n − 1 als 11 (palindromisch) geschrieben wird.

Für $n\le3$ ist die Menge an Basen leer, sodass diese Zahlen trivialerweise ebenfalls streng nicht-palindromisch sind.

Beispiele

Beispielsweise ist die (Dezimal-)Zahl 6 geschrieben

• zur Basis zwei: 110,
• zur Basis drei: 20 und
• zur Basis vier: 12

Da keine dieser Schreibweisen palindromisch ist, ist 6 streng nicht-palindromisch.

Die Folge der streng nicht-palindromischen Zahlen beginnt mit

0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, … ^[1]

Eigenschaften

Alle streng nicht-palindromischen Zahlen größer 6 sind Primzahlen. Zu jeder zusammengesetzten Zahl n > 6 kann eine Basis gefunden werden, zu der n palindromisch ist.

Beweis

1. Wenn n gerade ist, dann wird n zur Basis $\tfrac n2-1$ als 22 (palindromisch) geschrieben.
2. Anderenfalls ist n ungerade und lässt sich als $n=p\cdot m$ schreiben, wobei p der kleinste Primfaktor von n ist. Verständlicherweise ist dann $p\le m$.

• Ist dann p = m = 3, so ist n = 9, was zur Basis 2 als 1001 (palindromisch) geschrieben wird.
• Ist dann p = m > 3, so wird n zur Basis p − 1 als 121 (palindromisch) geschrieben.

Anderenfalls ist p < m − 1. Der Fall p = m − 1 kann nicht eintreten, da sowohl p als auch m ungerade sind.

In diesem Fall wird n als die zweistellige Zahl pp (palindromisch) zur Basis m − 1 geschrieben.

In jedem dieser Fälle liegt die Basis b im Bereich $2\le b\le n-2$.

Einzelnachweise

1. ↑ Folge A016038 in OEIS