Zweistichproben-t-Test

Der Zweistichproben-t-Test ist ein Signifikanztest aus der mathematischen Statistik. Er prüft anhand der Mittelwerte zweier Stichproben, ob die Mittelwerte zweier Grundgesamtheiten einander gleich sind, ggf. gegen die Alternative, dass einer der Mittelwerte kleiner ist als der andere.

Es gibt zwei Varianten des Zweistichproben-t-Tests:

• den für zwei unabhängige Stichproben mit gleichen Standardabweichungen σ in beiden Grundgesamtheiten und
• den für zwei abhängige Stichproben.

Liegen zwei unabhängige Stichproben mit ungleichen Standardabweichungen in beiden Grundgesamtheiten vor, so muss der Welch-Test eingesetzt werden.

Testidee

Der Zweistichproben-t-Test prüft (im einfachsten Fall) mit Hilfe des Mittelwerte $\bar{x}_1$ und $\bar{x}_2$ zweier Stichproben, ob die Mittelwerte μ₁ und μ₂ der zugehörigen Grundgesamtheiten verschieden sind.

Die untenstehende Grafik zeigt zwei Grundgesamtheiten (schwarze Punkte) und zwei Stichproben (blaue und rote Punkte), die zufällig aus den Grundgesamtheiten gezogen wurden. Die Mittelwerte der Stichproben $\bar{x}_1$ und $\bar{x}_2$ können aus den Stichproben berechnet werden, die Mittelwerte der Grundgesamtheiten μ₁ und μ₂ sind jedoch unbekannt. In der Grafik sind die Grundgesamtheiten so konstruiert, dass die beiden Mittelwert gleich sind, also μ₁ = μ₂. Man vermutet nun, z.B. wegen historischen Ergebnissen oder theoretischen Überlegungen, dass die Mittelwerte μ₁ und μ₂ der Grundgesamtheiten verschieden sind.

Im einfachsten Fall prüft der Test

• die Nullhypothese, dass die Mittelwerte der Grundgesamtheiten gleich sind ($H_0:\,\mu_1=\mu_2$)
• gegen die Alternativhypothese, dass die Mittelwerte der Grundgesamtheiten ungleich sind ($H_1:\,\mu_1\neq\mu_2$).

Wenn die Stichproben geeignet gezogen wurden, z.B. als einfache Zufallsstichproben, wird der Mittelwert der Stichprobe 1 $\bar{x}_1$ mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe bei dem Mittelwert der Grundgesamtheit 1 μ₁ liegen und der Mittelwert der Stichprobe 2 $\bar{x}_2$ mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe bei dem Mittelwert der Grundgesamtheit 2 μ₂ liegen. D.h. der waagerechte Abstand zwischen der gestrichelten roten und schwarzen Linie bzw. gestrichelten blaue und schwarzen Linie wird mit hoher Wahrscheinlichkeit klein sein.

• Ist der Abstand zwischen $\bar{x}_1$ und $\bar{x}_2$ klein, d.h. die gestrichelten blaue und rote Linie haben einen kleinen waagerechten Abstand, dann liegen auch die Mittelwerte der Grundgesamtheiten μ₁ und μ₂ nahe beieinander. Wir können dann die Nullhypothese nicht ablehnen.
• Ist der Abstand zwischen $\bar{x}_1$ und $\bar{x}_2$ groß, d.h. die gestrichelten blaue und rote Linie haben einen großen waagerechten Abstand, dann liegen auch die Mittelwerte der Grundgesamtheiten μ₁ und μ₂ weit voneinander entfernt. Dann können wir die Nullhypothese ablehnen.

Die genauen mathematischen Berechnungen finden sich in den folgenden Abschnitten.

Zweistichproben-t-Test für unabhängige Stichproben

Um Mittelwertunterschiede zwischen zwei Grundgesamtheiten mit der gleichen unbekannten Standardabweichung σ zu untersuchen, wendet man den Zweistichproben-t-Test an. Dafür muss jede der Grundgesamtheiten normal verteilt sein oder die Stichprobenumfänge müssen so groß sein, dass der zentrale Grenzwertsatz anwendbar ist. Für den Test zieht man eine Stichprobe $x_1, \ldots, x_n$ vom Umfang n aus der 1. Grundgesamtheit und unabhängig davon eine Stichprobe $y_1,\ldots,y_m$ vom Umfang m aus der 2. Grundgesamtheit. Für die zugehörigen unabhängigen Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ und $Y_1,\ldots,Y_m$ gilt dann E(X_i) = μ_X und E(Y_j) = μ_Y mit den Mittelwerten μ_X und μ_Y der beiden Grundgesamtheiten. Wird eine Zahl ω₀ für die Differenz der Mittelwerte vorgegeben, so lautet die Nullhypothese

$H_0:\,\mu_X-\mu_Y=\omega_0$

und die Alternativhypothese

$H_1:\,\mu_X-\mu_Y \neq \omega_0$.

Die Teststatistik ergibt sich zu

$T=\frac{\bar X-\bar Y - \omega_0}{S\sqrt{\frac 1n+\frac 1m}} = \sqrt{\frac{nm}{n+m}} \frac{\bar X-\bar Y - \omega_0}{S}.$

Darin sind $\scriptstyle \bar X$ und $\scriptstyle \bar Y$ die respektiven Stichprobenmittelwerte und

$S^2 = \frac{(n-1)S_X^2 + (m-1)S_Y^2}{n+m-2}$

die gewichtete Varianz, berechnet als gewichtetes Mittel der respektiven Stichprobenvarianzen $\scriptstyle S_X^2$ und $\scriptstyle S_Y^2$.

Die Teststatistik T ist unter der Nullhypothese t-verteilt mit m + n − 2 Freiheitsgraden. Der Prüfwert, also die Realisation der Teststatistik anhand der Stichprobe, berechnet sich dann als

$t=\sqrt{\frac{nm}{n+m}} \frac{\bar x -\bar y - \omega_0}{s}.$

Dabei sind $\bar x$ und $\bar y$ die aus der Stichprobe berechneten Mittelwerte und

$s^2=\frac{(n-1)s_x^2 + (m-1)s_y^2}{n+m-2}$

die Realisation der gewichteten Varianz, berechnet aus den Stichprobenvarianzen $\scriptstyle s_x^2$ und $\scriptstyle s_y^2$.

Zum Signifikanzniveau α wird die Nullhypothese abgelehnt zugunsten der Alternative, wenn

$|t| > t(1-\tfrac 12 \alpha,\ n+m-2).$

Alternativ können folgende Hypothesen mit der gleichen Teststatistik T getestet werden:

• $\!H_0:\mu_X-\mu_Y\leq\omega_0$ vs. $\!H_1:\mu_X-\mu_Y>\omega_0$ und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn $t > t(1-\alpha,\ m+n-2)$ bzw.
• $\!H_0:\mu_X-\mu_Y\geq\omega_0$ vs. $\!H_1:\mu_X-\mu_Y<\omega_0$ und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn $t < -t(1-\alpha,\ m+n-2)$.

Bemerkung

Sind die Varianzen in den Grundgesamtheiten ungleich, dann muss der Welch-Test durchgeführt werden.

Beispiel 1

Zwei Düngemittelsorten sollen verglichen werden. Dazu werden n = 10 Parzellen mit Sorte A und m = 15 Parzellen mit Sorte B gedüngt. Bei ersteren ergibt sich ein mittlerer Ernteertrag $\bar x = 23{,}6$ mit Stichprobenvarianz $s_x^2 = 9{,}5$ und bei den anderen Parzellen das Mittel $\bar y = 20{,}1$ mit Varianz $s_y^2 = 8{,}9$. Für die gewichtete Varianz berechnet man damit

$s^2 = \frac{9\cdot 9{,}5 + 14 \cdot 8{,}9}{10+15-2} = 9{,}135$.

Daraus erhält man die Prüfgröße

$t = \sqrt{\frac{10 \cdot 15}{10+15}} \cdot \frac{23{,}6-20{,}1}{\sqrt{9{,}135}} = 2{,}837$.

Dieser Wert ist größer als das 0,975-Quantil der t-Verteilung mit 10 + 15 − 2 = 23 Freiheitsgraden $t(0{,}975;\ 23) = 2{,}069$. Es kann also mit einer Konfidenz von $95 \%$ behauptet werden, dass ein Unterschied in der Wirkung der beiden Düngemittel besteht. Wegen $\bar x > \bar y$ ist Sorte A besser.

Kompaktdarstellung

Zweistichproben-t-Test für zwei unabhängige Stichproben
Voraussetzungen	$X_1, \ldots,X_n$ und $Y_1 \ldots,Y_m$ unabhängig voneinander $X_i\sim N(\mu_X;\sigma)\,$ oder $X_i\sim (\mu_X;\sigma)\,$ mit n > 30 $Y_j\sim N(\mu_Y;\sigma)\,$ oder $Y_j\sim (\mu_Y;\sigma)\,$ mit m > 30 σ unbekannt
Hypothesen	$H_0: \mu_X-\mu_Y\leq\omega_0\,$ $H_1: \mu_X-\mu_Y>\omega_0\,$ (rechtsseitig)	$H_0: \mu_X-\mu_Y=\omega_0\,$ $H_1: \mu_X-\mu_Y \neq\omega_0\,$ (zweiseitig)	$H_0: \mu_X-\mu_Y\geq\omega_0\,$ $H_1: \mu_X-\mu_Y<\omega_0\,$ (linksseitig)
Teststatistik	$T=\sqrt{\frac{nm}{n+m}}\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\omega_0}{S} \sim t_{n+m-2}$
Prüfwert	$t=\sqrt{\frac{nm}{n+m}}\frac{\bar{x}-\bar{y}-\omega_0}{s}$ mit $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$, $\bar{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m y_i$, $s_X=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$, $s_Y=\sqrt{\frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^m (y_j-\bar{y})^2}$ und $s=\sqrt{\frac{ {(n-1)s_X^2+(m-1)s_Y^2} }{n+m-2}}$
Ablehnungsbereich H0	$\{t|t>t_{1-\alpha;n+m-2}\}\,$	$\{t|t<-t_{1-\alpha/2;n+m-2}\}\,$ oder $\{t|t>t_{1-\alpha/2;n+m-2}\}\,$	$\{t|t<-t_{1-\alpha;n+m-2}\}\,$

Zweistichproben-t-Test für abhängige Stichproben

Hier sind $x_1, x_2, \dots, x_n$ und $y_1, y_2, \dots, y_n$ zwei paarweise verbundene Stichproben, die beispielsweise aus zwei Messungen an denselben Untersuchungseinheiten gewonnen wurden (Messwiederholung). Die Stichproben können auch aus anderen Gründen paarweise abhängig sein, beispielsweise wenn die x- und y-Werte Messergebnisse von Frauen bzw. Männern in einer Partnerschaft sind und Unterschiede zwischen den Geschlechtern interessieren.

Soll die Nullhypothese getestet werden, dass die beiden Erwartungswerte der zugrunde liegenden normalverteilten Grundgesamtheiten gleich sind, so können mit dem Einstichproben-t-Test die Differenzen d_i = x_i − y_i auf Null getestet werden. In der Praxis muss bei kleineren Stichprobenumfängen ($n\leq30$) die Voraussetzung erfüllt sein, dass die Differenzen in der Grundgesamtheit normalverteilt sind. Bei hinreichend großen Stichproben verteilen sich die Differenzen der Paare annähernd normal um das arithmetische Mittel der Differenz der Grundgesamtheit. Insgesamt reagiert der t-Test auf Annahmeverletzung eher robust.^[1]

Beispiel 2

Um eine neue Therapie zur Senkung des Cholesterinspiegels zu testen, werden bei zehn Probanden vor und nach der Behandlung die Cholesterinwerte bestimmt. Es ergeben sich die folgenden Messergebnisse:

Vor der Behandlung:	223	259	248	220	287	191	229	270	245	201
Nach der Behandlung:	220	244	243	211	299	170	210	276	252	189
Differenz:	3	15	5	9	-12	21	19	-6	-7	12

Die Differenzen der Messwerte haben das arithmetische Mittel $\bar d = 5{,}9$ und die Stichprobenstandardabweichung s_d = 11,3866. Das ergibt als Prüfgrößenwert

$t=\sqrt{10}\frac{5{,}9}{11{,}3866}=1{,}6385$.

Es ist $t(0{,}975;\ 9) = 2{,}2622$, also gilt $|t| \leq t(0{,}975;\ 9)$. Somit kann die Nullhypothese, dass die Erwartungswerte der Cholesterinwerte vor und nach der Behandlung gleich sind, die Therapie also keine Wirkung hat, zum Signifikanzniveau $\alpha=5\%$ nicht abgelehnt werden. Wegen $t<t(0{,}95;\ 9) = 1{,}8331$ ist auch die einseitige Alternative, dass die Therapie den Cholesterinspiegel senkt, nicht signifikant. Wenn die Behandlung überhaupt einen Effekt hat, so ist dieser nicht groß genug, um ihn mit einem so kleinen Stichprobenumfang zu entdecken.

Kompaktdarstellung

Zweistichproben-t-Test für zwei gepaarte Stichproben
Voraussetzungen	$D_i=X_i-Y_i\,$ unabhängig voneinander $\bar{D}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n D_i\sim N(\mu_D; \sigma_D/\sqrt{n})$ (zumindest approximativ)
Hypothesen	$H_0: \mu_X-\mu_Y\leq\omega_0$ $H_1: \mu_X-\mu_Y>\omega_0\,$ (rechtsseitig)	$H_0: \mu_X-\mu_Y=\omega_0\,$ $H_1: \mu_X-\mu_Y\neq\omega_0$ (zweiseitig)	$H_0: \mu_X-\mu_Y\geq\omega_0$ $H_1: \mu_X-\mu_Y<\omega_0\,$ (linksseitig)
Teststatistik	$T=\sqrt{n}\frac{\bar{D}-\omega_0}{S_D} \sim t_{n-1}$
Prüfwert	$t=\sqrt{n}\frac{\bar{d}-\omega_0}{s_d}$ mit $d_i=x_i-y_i\,$, $\bar{d}=\frac{1}n\sum_{i=1}^n d_i$, und $s_d = \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (d_i-\bar{d})^2 }$
Ablehnungsbereich H0	$[t_{1-\alpha;n-1},\infty)\,$	$(-\infty,-t_{1-\frac{\alpha}2;n-1}]\cup [t_{1-\frac{\alpha}2;n-1},\infty)\,$	$(-\infty,-t_{1-\alpha;n-1}]\,$

Welch-Test

Beim Welch-Test wird die Teststatistik ähnlich berechnet wie beim Zweistichproben-t-Test:

$T=\frac{\bar X-\bar Y - \omega_0}{\sqrt{\frac{S_X}n+\frac{S_Y}m}} \approx t_\nu.$

Jedoch ist diese Teststatistik unter der Nullhypothese nicht t verteilt, sondern wird mittels einer t-Verteilung mit einer modifizierten Anzahl von Freiheitsgraden approximiert (siehe auch Behrens-Fisher-Problem):

$\nu = {\left(\frac{s_x}{n} + \frac{s_y}{m}\right)^2 \over \frac{\left(\frac{s_x}{n}\right)^2}{n-1} + \frac{\left(\frac{s_y}{m}\right)^2}{m-1}}.$

Dabei sind s_x und s_y die aus der Stichprobe geschätzten Standardabweichungen der Grundgesamtheiten sowie n und m die Stichprobenumfänge.

Kompaktdarstellung

Welch-Test
Voraussetzungen	$X_1, \ldots,X_n$ und $Y_1 \ldots,Y_m$ unabhängig voneinander $X_i\sim N(\mu_X;\sigma_X)\,$ oder $X_i\sim (\mu_X;\sigma_X)\,$ mit n > 30 $Y_j\sim N(\mu_Y;\sigma_Y)\,$ oder $Y_j\sim (\mu_Y;\sigma_Y)\,$ mit m > 30 $\sigma_X\neq\sigma_Y$ unbekannt
Hypothesen	$H_0: \mu_X-\mu_Y\leq\omega_0\,$ $H_1: \mu_X-\mu_Y>\omega_0\,$ (rechtsseitig)	$H_0: \mu_X-\mu_Y=\omega_0\,$ $H_1: \mu_X-\mu_Y \neq\omega_0\,$ (zweiseitig)	$H_0: \mu_X-\mu_Y\geq\omega_0\,$ $H_1: \mu_X-\mu_Y<\omega_0\,$ (linksseitig)
Teststatistik	$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\omega_0}{S} \approx t_\nu$
Prüfwert	$t=\frac{\bar{x}-\bar{y}-\omega_0}{s}$ mit $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$, $\bar{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m y_i$, $s_x=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$, $s_x=\sqrt{\frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^m (y_j-\bar{y})^2}$, $s=\sqrt{\frac{s_x^2}{n}+\frac{s_y^2}{m}}$ und $\nu=\frac{\left(\frac{s_x}{n} + \frac{s_y}{m}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_x}{n}\right)^2}{n-1} + \frac{\left(\frac{s_y}{m}\right)^2}{m-1}}$.
Ablehnungsbereich H0	$\{t|t>t_{1-\alpha;\nu}\}\,$	$\{t|t<-t_{1-\alpha/2;\nu}\}\,$ oder $\{t|t>t_{1-\alpha/2;\nu}\}\,$	$\{t|t<-t_{1-\alpha;\nu}\}\,$

Alternative Tests

Der t-Test wird, wie oben ausgeführt, zum Testen von Hypothesen über Erwartungswerte einer oder zweier Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannter Standardabweichung verwendet.

• Die Normalverteilungsannahme kann mit dem Shapiro-Wilk-Test oder dem Kolmogorow-Smirnow-Test geprüft werden. Liegt keine Normalverteilung vor, können als Ersatz für den t-Test nichtparametrische Tests angewendet werden, etwa ein Wilcoxon-Mann-Whitney-Test (auch: Wilcoxon-Rangsummentest) für unabhängige Stichproben oder ein Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test für gepaarte Stichproben.
• Sollen mehr als zwei normalverteilte Stichproben auf Gleichheit der Erwartungswerte getestet werden, kann eine Varianzanalyse angewendet werden.
• Bei Mittelwertvergleichen normalverteilter Stichproben mit bekannter Standardabweichung werden Gauß-Tests verwendet.

Einzelnachweise

1. ↑ Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21271-X, S. 142.

Weblinks

• Internet-Rechner - T-Verteilung