- Dedekindsche Psi-Funktion
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Die Dedekindsche ψ-Funktion (nach Richard Dedekind) ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie ist nicht zu verwechseln mit anderen dedekindschen Funktionen und wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben psi (ψ) bezeichnet. Für natürliche n ist sie definiert als
Das Produkt läuft über alle primen Teiler von n.
Werte
Nach Definition des leeren Produkts ist
- ψ(1) = 1.
Für die ersten natürlichen Zahlen ergeben sich die Werte
Die Folge dieser Funktionswerte geht weiter mit 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ... Diese bilden die Folge A001615 in OEIS.
Eigenschaften
ψ(n) ist größer als n und gerade für alle hinreichend großen n:
n \qquad\qquad\mathrm{f\ddot ur\; alle}\, n>1" border="0">
2" border="0">
Für Primzahlen p gilt
- ψ(p) = p + 1 = φ(p) + 2.
Dabei ist φ(p) die Eulersche Phi-Funktion, die die Anzahl der teilerfremden Zahlen angibt.
Die ψ-Funktion kann auch angegeben werden durch
für Potenzen für Primzahlen p; die Verallgemeinerung auf alle natürlichen Zahlen ist dann durch die Primfaktorzerlegung und dadurch gegeben, dass
eine Multiplikative Funktion ist. Mit der Riemannsche Zeta-Funktion ζ gilt dann
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Dedekind Function. In: MathWorld. (englisch)
- Die ersten 10.000 Werte der Dedekindschen psi-Funktion
- J. Chidambaraswamy: Generalized Dedekind psi functions with respect to a polynomial. II. In: Pacific J. Math. Vol. 65, Nr. 1(1976), S. 19-27.
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