- Dedekindsche ψ-Funktion
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Die Dedekindsche ψ-Funktion (nach Richard Dedekind) ist eine mutiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie ist nicht zu verwechseln mit anderen dedekindschen Funktionen und wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben psi (ψ) bezeichnet. Für natürliche n ist sie definiert als
Das Produkt läuft über alle primen Teiler von n.
Werte
Nach Definition des leeren Produkts ist
- ψ(1) = 1
Für die ersten natürlichen Zahlen ergeben sich die Werte
,
. Die Folge dieser Funktionswerte geht weiter mit 6, 6, 12, 24, 8, 12, 12, 18. Diese bilden die Folge A001615 in OEIS.
Eigenschaften
ψ(n) ist größer als n und gerade für alle hinreichend großen n:
Für Primzahlen p gilt
Dabei ist
die Eulersche Phi-Funktion, die die Anzahl der teilerfremden Zahlen angibt.
Die ψ-Funktion kann auch angegeben werden durch
für Potenzen für Primzahlen p; die Verallgemeinerung auf alle natülichen Zahlen ist dann durch die Primfaktorzerlegung und dadurch gegeben, dass
eine Multiplikative Funktion ist. Mit der Riemannsche Zeta-Funktion ζ gilt dann
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Dedekind Function auf MathWorld (englisch)
- Die ersten 10.000 Werte der Dedekindschen psi-Funktion
- J. Chidambaraswamy: Generalized Dedekind psi functions with respect to a polynomial. II. In: Pacific J. Math. Vol. 65, Nr. 1(1976), S. 19-27.
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