Chaotisches System

Die Chaosforschung (auch: Theorie komplexer Systeme oder Komplexitätstheorie) ist ein Teilgebiet der Mathematik und Physik und befasst sich im Wesentlichen mit Systemen, deren Dynamik unter bestimmten Bedingungen empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt, so dass ihr Verhalten nicht langfristig vorhersagbar ist. Da diese Dynamik einerseits den physikalischen Gesetzen unterliegt, andererseits aber irregulär erscheint, bezeichnet man sie als deterministisches Chaos. Chaotische Systeme sind nichtlineare dynamische Systeme.

Beispiele sind der Schmetterlingseffekt beim Wetter, Turbulenzen, Wirtschaftskreisläufe, bestimmte Musterbildungsprozesse, wie beispielsweise Erosion, die Entstehung eines Verkehrsstaus sowie neuronale Netze und damit letztlich auch menschliches Verhalten.

Die Chaosforschung wurde bei ihrem Aufkommen von der Öffentlichkeit mit großem Interesse verfolgt. Die damit verbundenen oft überhöhten Erwartungen hat sie jedoch nicht erfüllen können. So wird der in der Öffentlichkeit populäre Begriff Chaostheorie in Fachkreisen eher vermieden. Die Erfolge der Chaosforschung bestehen im Wesentlichen in der Entdeckung bestimmter universeller Strukturen und Prinzipien im scheinbar regellosen Verhalten chaotischer Systeme wie beispielsweise verschiedenen "Wegen ins Chaos" wie über Periodenverdopplung oder die Ausbildung sogenannter seltsamer Attraktoren.

Die Chaosforschung basiert unter anderem auf Arbeiten von Henri Poincaré, Edward N. Lorenz, Benoit Mandelbrot und Mitchell Feigenbaum. Die hier dargestellten Phänomene entsprechen dem Minimalkonsens darüber, was thematisch zur Chaosforschung zählt.

Grundlagen

Anders als der Begriff Chaos in der Umgangssprache charakterisiert die deterministische Chaostheorie nicht den Zustand eines Systems, wie beispielsweise seine Unordnung, sondern sein zeitliches Verhalten, das heißt seine Dynamik. Chaotisches Verhalten liegt dann vor, wenn selbst geringste Änderungen der Anfangsbedingungen nach einer gewissen Zeit zu einem völlig anderen Verhalten führen. Man spricht in diesem Zusammenhang von sensibler Abhängigkeit von den Anfangswerten (leider meist falsch als „sensitive“ Abhängigkeit übersetzt). Es stellt sich ein nichtperiodisches und scheinbar irreguläres Verhalten ein.

Grenzen der Vorhersagbarkeit

Beliebig kleine Differenzen in den Anfangsbedingungen von chaotischen Systemen wachsen mit der Zeit im Mittel an. Oftmals ist deshalb folgendes der Fall: um das Systemverhalten für eine bestimmte zukünftige Zeit berechnen zu können, müssen die Anfangsbedingungen mit einer Präzision bekannt sein, die die Möglichkeiten praktischer Messgenauigkeit bei weitem übersteigt. Diese Art von Unvorhersagbarkeit findet sich auch bei Systemen, die nicht chaotisch sind (etwa die Abbildung f(x)=cx auf R+ mit c>1). Chaotische systeme zeigen aber auch stärkere Formen von Unvohersagbarkeit, etwa dass Ereignisse, die weit genug in der Vergangenheit liegen, probabilistisch irrelevant für Vorhersagen sind. Diese Eigenschaft kann als charakteristisch für chaotische Systeme angesehen werden ^[1]. Obwohl auch solche Systeme, zumindest im Sinne der klassischen Physik, determiniert und damit prinzipiell berechenbar sind, sind daher praktische Vorhersagen nur für mehr oder weniger kurze Zeitspannen möglich.

Dieses Phänomen ist auch unter dem Schlagwort Schmetterlingseffekt in der Öffentlichkeit bekannt geworden, wonach selbst der Flügelschlag eines Schmetterlings auf lange Sicht zu einem anderen Ablauf des großräumigen Wettergeschehens führen kann.

Ljapunow-Exponent

Mathematisch wird die Geschwindigkeit dieses exponentiellen Auseinanderlaufens durch Ljapunow-Exponenten beschrieben. Dazu betrachtet man die n Zustandsgrößen x_i mit i=1 bis n, die den Zustand des Systems vollständig beschreiben. Ein Unterschied Δx_i zwischen zwei nahezu identisch präparierten, gleichartigen Systemen wächst dann von einem Anfangszeitpunkt t=0 ausgehend vereinfacht betrachtet entsprechend

$\Delta x_i(t) \approx e^{\lambda_i t} \Delta x_i(t=0)$

an, wobei λ_i der Ljapunow-Exponent zu x_i ist. Für ein exponentielles Wachstum ist daher mindestens ein positiver Ljapunow-Exponent λ_i erforderlich.

Quantentheorie und Determinismus

Die Berücksichtigung der Erkenntnisse der Quantentheorie zeigt, dass die Vorhersagbarkeit realer komplexer Systeme nicht nur an der Grenze der praktisch möglichen Messgenauigkeit scheitert, sondern dass ihr Verhalten prinzipiell nicht determiniert ist. So besagt die Heisenbergsche Unschärferelation, dass Ort und Impuls eines Objektes nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind. Diese Einschränkung bezieht sich nicht auf Unzulänglichkeiten des Beobachtungsvorgangs, sondern ist prinzipieller Natur. Diese Unschärfe ist bei makroskopischen Systemen gewöhnlich vernachlässigbar. Da sie bei chaotischen Systemen jedoch exponentiell anwächst, nimmt sie früher oder später makroskopische Dimensionen an. Bei dem Gerät zur Ziehung der Lottozahlen mit Kugeln ist das bereits nach etwa 20 Stößen der Fall. Die Vorhersagbarkeit chaotischer Systeme scheitert daher spätestens an der Unschärferelation. Das bedeutet, dass reale Systeme prinzipiell nicht im klassischen Sinn deterministisch sein können im Gegensatz zu den sie beschreibenden mathematischen Modellen.

Nichtlineare Systeme

Chaotisches Verhalten kann nur in Systemen auftreten, deren Dynamik durch nichtlineare Gleichungen beschrieben wird. Solche Gleichungen sind meist nicht analytisch, d.h. nicht durch Angabe expliziter Größen, sondern nur numerisch lösbar. Ursache des exponentiellen Wachstums von Unterschieden in den Anfangsbedingungen sind dabei oft Mechanismen von Selbstverstärkung beispielsweise durch Rückkopplungen. Ist durch Reibung hinreichend Dissipation im Spiel, so kann sich in der Regel kein chaotisches Verhalten ausbilden. So könnten beispielsweise bei Jahrmarktsfahrgeschäften, die konstruktionsbedingt zu chaotischem Verhalten neigen, ohne entsprechende Bremsmaßnahmen unerwartete und unzumutbare Beschleunigungsspitzen auftreten. Dass dissipative Terme nicht ausschließlich stabilisierend wirken, zeigt sich am Beispiel einer Grenzschicht. Mit der linearen Stabilitätstheorie lässt sich zeigen, dass erst der Einfluss der Reibung das Wachstum kleiner Störungen ermöglicht. Dieses exponentielle Anwachsen stellt die erste Phase des laminar-turbulenten Umschlags dar.

Diskrete Systeme

Mandelbrot-Menge

Bisher wurde nur das zeitliche Verhalten kontinuierlicher physikalischer Systeme betrachtet. Chaos wird jedoch auch in Modellen studiert, bei denen jeder Zustand durch einen Iterationsschritt diskret in den Folgezustand übergeht. Beispiele sind die logistische Gleichung oder die Iterationsvorschrift, die zur Mandelbrot-Menge führt, die unter der Bezeichnung Apfelmännchen bekannt wurde. Dabei können die gleichen Grundphänomene wie bei kontinuierlichen Systemen auftreten.

Im Prinzip lässt sich einem kontinuierlichen System durch die Betrachtung bestimmter aufeinanderfolgender Zustände stets ein diskretes System zuordnen. Ein Verfahren ist die sogenannte Poincaré-Abbildung, mit der Henri Poincaré Ende des 19. Jahrhunderts die Stabilität der Planetenbewegung studierte.

Phänomene

Ein wesentliches Ergebnis der Chaosforschung ist die Entdeckung, dass chaotische Systeme trotz ihres langfristig nicht vorhersagbaren, scheinbar irregulären Verhaltens bestimmte typische Verhaltensmuster zeigen. Da sie bei völlig unterschiedlichen Systemen beobachtet werden, sind sie von universeller Bedeutung.

Seltsame Attraktoren

Ein typisches Phänomen bei chaotischen Prozessen sind sogenannte Seltsame Attraktoren. Für ihr Verständnis betrachtet man die Dynamik des Systems anhand von sogenannten Phasenraumdiagrammen.

Phasenraumdiagramme

Phasenraumdiagramme bieten einen anschaulichen Überblick über die Dynamik eines Systems. Der Zustand des Systems wird dabei zu jedem Zeitpunkt durch einen Punkt in einem Raum dargestellt, dessen Koordinatenachsen durch den Satz von unabhängigen Zustandsgrößen des Systems und deren Geschwindigkeiten gegeben sind. Die Dynamik lässt sich damit als die Bahn dieses Punktes im Phasenraum interpretieren. So wird beispielsweise der Phasenraum eines Pendels durch den Auslenkwinkel und die zugehörige Winkelgeschwindigkeit aufgespannt, und eine periodische Pendelbewegung entspricht einer geschlossenen Kurve um den Koordinatenursprung. Mathematisch lässt sich die Gesamtheit aller möglichen Verhaltensweisen als Strömungsfeld im Phasenraum interpretieren.

Attraktoren

In manchen Fällen streben Systeme mit verschiedenen Anfangsbedingungen zu demselben Verhalten. Die zugehörigen Bahnen im Phasenraum konvergieren dann zu einer bestimmten Bahn, die als Attraktor bezeichnet wird. Im Falle eines freien Pendel mit Reibung wäre das der Ruhezustand, das heißt der Koordinatenursprung im Phasendiagramm, zu dem alle Bahnen spiralförmig hinstreben. In diesem Fall handelt es sich um einen punktförmigen Attraktor, einen Fixpunkt. Attraktoren können jedoch auch Kurven sein, wie beispielsweise der periodische Grenzzyklus, der sich bei einem Pendel mit Reibung einstellt, das durch eine äußere periodische Kraft zu Schwingungen angeregt wird. Dieses Verhalten ist typisch für dissipative Systeme. Mathematisch betrachtet können Attraktoren immer dann auftreten, wenn die Divergenz des Strömungsfeldes in Bereichen des Phasenraums negativ ist.

Der seltsame Attraktor

Lorenz-Attraktor in einem dreidimensionalen Phasenraum, dem ein einfaches Wettermodell zugrunde liegt. Der Bahnpunkt kreist links im Uhrzeigersinn und rechts entgegen. Bei jedem Umlauf verbreitert sich das Band der Bahnen auf das Doppelte und wird anschließend bei der Abwärtsbewegung in der Bildmitte in zwei Hälften zerschnitten, wobei die Entscheidung fällt, ob der nächste Umlauf links oder rechts stattfindet. Auf diesem Mechanismus beruht der chaotische Charakter der Bahnen.

Chaotische Systeme können nun eine besondere Form von Attraktoren haben, die als seltsame Attraktoren bezeichnet werden. Obwohl sie sich in einem begrenzten Gebiet des Phasenraumes aufhalten, sind sie unendlich lang und nicht periodisch. Bezüglich kleiner Störungen zeigen sie chaotisches Verhalten. Es sind Fraktale mit einer komplizierten und scheinbar irregulären inneren geometrischen Struktur. Sie sind in eine Teilmenge des Phasenraums eingebettet, die eine niedrigere Dimensionalität besitzt als der Phasenraum selbst. Das bedeutet, dass in der Dynamik trotz des chaotischen Charakters nur ein infinitesimaler und damit verschwindender Bruchteil aller möglichen Zustände vorkommt. Der Attraktor selbst hat, wie bei Fraktalen üblich, eine fraktale Dimension, die durch eine gebrochene Zahl dargestellt wird und die damit noch kleiner als die Dimension des Einbettungsbereiches ist.

Das bekannteste Beispiel für einen seltsamen Attraktor ist der Lorenz-Attraktor, den Lorenz bei der Modellierung des Wettergeschehens entdeckte. Ein weiteres Beispiel ist der Rössler-Attraktor, auf den Otto E. Rössler durch die Betrachtung einer Bonbonknetmaschine stieß.

Nach dem Poincaré–Bendixson-Theorem können seltsame Attraktoren erst in Phasenräumen ab drei Dimensionen auftreten. Ursache ist der Umstand, dass Bahnen im Phasenraum, wie bei einem Strömungsfeld üblich, sich nicht kreuzen, was aber für ein chaotisches Verhalten in zwei Dimensionen erforderlich wäre. Seltsame Attraktoren können nur dann auftreten, wenn mindestens ein Ljapunow-Exponent negativ und mindestens einer positiv ist. Der negative sorgt in gewissem Sinne für Konvergenz bezüglich einer Dimension und damit für die Reduktion der Dimensionalität, der positive für das chaotische Verhalten.

Schnittflächen durch den Phasenraum, die senkrecht von Bahnen durchstoßen werden, werden als Poincaré-Abbildung bezeichnet. Im Fall von seltsamen Attraktoren bilden die Durchstoßpunkte Cantor-Mengen.

Auch bei diskreten chaotischen Systemen werden seltsame Attraktoren beobachtet wie beispielsweise der Hénon-Attraktor. Analog zu attraktiven Strukturen können auch repulsive Strukturen auftreten, die ebenfalls fraktal sind, wie beispielsweise die Julia-Mengen.

Störungen und Resonanzen

Systeme können sehr empfindlich auf Störungen reagieren und dadurch schnell ins Chaos übergehen. Erst das KAM-Theorem hat gezeigt, dass regelmäßige Einflüsse an sensiblen Stellen im Phasenraum nicht zwingend chaotisches Verhalten hervorrufen müssen. Sensibel sind z.B. rationale (ganzzahlige) Verhältnisse zwischen einer ungestörten Schwingung (z.B. eines Doppelpendels) zu einer periodischen Anregung. Diese rufen nämlich Resonanzen hervor, weshalb für das Theorem nur irrationale Verhältnisse betrachtet werden.

Aus mathematischer Sicht, gerade bei normalerweise vorherrschenden Messungenauigkeiten, kann man jede irrationale Zahl durch Brüche approximieren (Kettenbruchentwicklung). Daher scheint die Überlegung praktisch sinnlos zu sein. Man muss aber bedenken, dass sich ein System umso schneller durch Resonanzen aufschaukeln wird, je näher das Frequenzverhältnis an einem rationalen Wert liegt. Das heißt, die erwarteten Werte weichen noch schneller von den gemessenen ab, als es sonst der Fall wäre.

Besonders stabil gegenüber Störungen (zeitlich gesehen) sind daher irrationale Verhältnisse, die sich nur schlecht durch Brüche annähern lassen. Allgemein spricht man in diesem Zusammenhang von edlen Zahlen, wobei ein Verhältnis namens Goldener Schnitt die Zahl ist, die sich am schlechtesten mittels Kettenbruchentwicklung annähern lässt und somit am stabilsten gegen chaotische Einflüsse ist.

Der Übergang ins Chaos

Nichtlineare dynamische Systeme können neben Chaos auch andere Verhaltensweisen zeigen, wie beispielsweise Konvergenz gegen einen Ruhezustand oder gegen einen periodischen Grenzzyklus. Welches Verhalten auftritt, kann von den Anfangsbedingungen oder auch von anderen Kontrollparametern abhängen. Eine grafische Darstellung der entsprechenden Einzugsgebiete für bestimmte Verhaltensweisen als Funktion dieser Parameter ist oft fraktal. Der Übergangsbereich zu chaotischem Verhalten zeichnet sich dabei durch bestimmte Eigenschaften aus, wie beispielsweise plötzliche qualitative Änderungen des Verhaltens, die auch als Bifurkation bezeichnet werden.

Periodenverdopplung

Bifurkationsdiagramm der Zahlenfolge zur logistischen Gleichung. Dargestellt sind die Häufungspunkte x der Folge als Funktion des Kontrollparameters r. Links konvergiert die Folge, rechts ist sie chaotisch und dazwischen periodisch. An den Verzweigungsstellen im Übergangsbereich findet jeweils eine Periodenverdopplung statt.

Bei Übergang von periodischem Verhalten zum Chaos kann ein typisches Phänomen auftreten, das als Periodenverdopplung oder Feigenbaum-Szenario bezeichnet wird. Dabei nimmt zum chaotischen Bereich hin die Oszillationsperiode stufenweise um den Faktor zwei zu. Die zugehörigen Parameterintervalle werden mit zunehmender Periode immer kürzer. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle unterschiedlicher Perioden strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante δ≈4,669, eine irrationale Zahl. Dabei ist der chaotische Bereich oft auf fraktale Weise immer wieder von Intervallen mit periodischem Verhalten durchbrochen, die jeweils wiederum über Periodenverdopplung in das benachbarte Chaos übergehen. Dieses Verhalten und das zugehörigen Zahlenverhältnis hängen nicht von den Details des mathematischen oder physikalischen nichtlinearen Systems ab, sondern stellen ein universelles und damit fundamentales Gesetz vieler chaotischer Systeme dar.

Ein einfaches Beispiel ist ein tropfender Wasserhahn, betrachtet als diskretes System der aufeinanderfolgenden Zeitabstände zwischen zwei Tropfen. Die Stellung des Hahns ist dabei der Kontrollparameter. Bei hinreichend kleinem Leck fallen die Tropfen in regelmäßigen Abständen. Bei hinreichend großem dagegen ist keine Periodizität erkennbar, sondern die Folge der Zeitabstände ist chaotisch. Bei einer bestimmten Hahnstellung dazwischen lassen sich zwei verschiedene Zeitabstände beobachten, die abwechselnd aufeinanderfolgen. Das System befindet sich nicht nach jedem Tropfen wieder im selben Zustand sondern erst nach jedem zweiten. Eine solche Hahnstellung ist in der Praxis jedoch nur schwer zu finden.

Intermittenz

Neben der Periodenverdopplung werden auch andere Formen des Übergangs ins Chaos beobachtet, wie beispielsweise die sogenannte Intermittenz. Dabei wechseln sich bei einem Parameterwert im Übergangsbereich quasiperiodisches und chaotisches Verhalten ständig ab, wobei zu chaotischen Parameterwerten hin der chaotische Anteil ständig zunimmt.

Beispiele für chaotische Systeme

Naturwissenschaftliche Beispiele

Den meisten Vorgängen in der Natur liegen nichtlineare Prozesse zugrunde. Entsprechend vielfältig sind die Systeme, die chaotisches Verhalten zeigen können. Hier einige wichtige oder bekannte Beispiele:

• Das Wetter. Zur Zeit ist die Zuverlässigkeit der Wettervorhersage durch die grobe Kenntnis des Ausgangszustandes begrenzt. Aber auch bei vollständiger Information würde eine langfristige Wettervorhersage letztlich am chaotischen Charakter des meteorologischen Geschehens scheitern. Die Stabilität des Wetters kann stark schwanken. So sind bei bestimmten Wetterlagen Vorhersagen für eine Woche durchaus möglich, bei anderen dagegen kaum für 24 Stunden.
• Das Doppelpendel. Da es sich aufgrund von nur zwei unabhängigen Freiheitsgraden leicht modellieren und auch leicht herstellen lässt, ist es ein beliebtes Demonstrationsobjekt für überraschende Wechsel im chaotischen Bewegungsablauf. In Computersimulationen und bei den Versuchen lassen sich bestimmte Klassen von Systemverhalten identifizieren, wie beispielsweise die maximal mögliche Anzahl von Überschlägen in Abhängigkeit von der anfänglichen Energie und der Reibung.
• Das magnetische Pendel, bei dem eine an einem Faden aufgehängte Eisenkugel über mehreren Magneten pendelt.
• Systeme mit stoßenden Kugeln. Wichtig ist, dass die Kugeln entweder kollidieren oder an gekrümmten Hindernissen reflektiert werden, damit Störungen exponentiell anwachsen. Beispiele sind das Gerät zur Ziehung der Lottozahlen, der Flipperautomat und Billard.
• Das Dreikörperproblem und damit auch unser Sonnensystem oder Sternsysteme aus drei oder mehr Sternen wie beispielsweise Sternhaufen.
• Der Herzrhythmus wurde zeitweise als chaotisches Signal angesehen. Je nach Gesundheitszustand lässt sich der Herzrhythmus über chaostheoretische Kriterien klassifizieren. Die dabei berechneten Parameter stellen jedoch lediglich empirische Größen dar. Anwendungsgebiete sind die Vorhersage des plötzlichen Herztodes oder allgemein gesprochen die Diagnose von Erkrankungen, die durch das vegetative Nervensystem vermittelt werden. Hierbei wird angenommen, dass das System umso stabiler ist, je chaotischer das Verhalten ist. Die Betrachtung des Herz-Kreislaufsystems als "chaotisch" ist jedoch in verschiedener Hinsicht problematisch.
• Turbulenz wie beispielsweise beim Bénard-Experiment zur Konvektion.
• Die Belousov-Zhabotinsky-Reaktion, eine chemische Reaktion.
• Die Populationsdynamik in Räuber-Beute-Modellen.
• Die Bäcker-Transformation, ein diskretes System, das den Ort einer Rosine im Kuchenteig beim abwechselnden Auswalzen und Falten des Teigs betrachtet.

Geistes- und sozialwissenschaftliche Beispiele

Neben diesen naturwissenschaftlichen Beispielen, wird die Chaosforschung auch in verschiedenen Geistes- und Sozialwissenschaften genutzt, um chaotisches Verhalten zu beschreiben und zu erklären. Hier einige Beispiele:

• Börsenkurse und Konjunkturentwicklung. Bereits Mandelbrot hatte darauf hingewiesen, dass zahlreiche Verlaufskurven von Wirtschaftsdaten nichtlineare Eigenschaften haben und sich mit Hilfe von Fraktalen und Intermittenzen beschreiben lassen.^[2]
• In der Geschichtswissenschaft wird die Chaosforschung vor allem zur Beschreibung und Erklärung von Krisen und Übergangszuständen genutzt.^[3]
• In der Psychologie dient die Chaosforschung als Ansatz, um beispielsweise sprachpsychologische Befunde zum Stottern^[4] oder die Ursachen für kriminelle Affekttaten (wie Amokläufe)^[5] zu erklären.
• In der Medizin sind die Entstehung tödlicher Embolien bei Arterienverkalkung, der Ausfall bestimmter Hirnfunktionen beim Schlaganfall oder die Entstehung bösartiger Tumoren nach Mutationen von Suppressor-Genen typische Beispiele für chaotisches Verhalten.

Geschichte

Ende des 19. Jahrhunderts gewann Henri Poincaré einen Preis mit dem Lösungsansatz für die Frage, ob das Sonnensystem stabil ist. Manche Quellen geben dies als die Geburtsstunde der Chaosforschung an, es dauerte jedoch bis in die Mitte des 20.Jahrhunderts bis der Lösungsansatz von Poincaré mit Hilfe von Computern brauchbar umgesetzt werden konnte.

Chaotische Phänomene sind schon seit langem bekannt, wie beispielsweise das Dreikörperproblem oder Turbulenz. Lange Zeit wurden diese Phänomene als eher weniger verbreitete Spezialfälle angesehen. Da eine angemessene Untersuchung ohne Computer wenig erfolgversprechend schien, und kaum jemand besondere Erkenntnisse erwartete, da die Phänomene vollständig auf den Konzepten der klassischen Physik beruhen, wurden sie wenig beachtet. Das änderte sich erst mit dem Aufkommen schneller Computer.

In den 1960er Jahren entdeckte Edward N. Lorenz die Phänomene, die heute als deterministisches Chaos bezeichnet werden, an einem Modell für das Wetter mit einem Gleichungssatz von drei Gleichungen zur Strömungsmechanik. Als er, um Zeit zu sparen, gerundete Werte einer früheren Berechnung verwendete, beobachtete er, dass winzige Änderungen der Anfangsbedingungen nach kurzer Zeit zu völlig unterschiedlichen Ergebnissen führten. Der daraus abgeleitete Schmetterlingseffekt und die Formulierung des Begriffs der sensiblen Abhängigkeit von Anfangsbedingungen wurden zu häufig missgedeuteten Metaphern der „Chaostheorie“.

Robert May simulierte 1976 eine Fischpopulation P mit einer Wachstumsrate R mit der Formel P(neu) = R * P(alt) * (1 – P(alt)), um mit dem zweiten Term „1 – P(alt)“ begrenzte Ressourcen abzubilden. Er wählte für seine rechnerische Simulation eine sehr kleine Anfangspopulation von 2% und entdeckte, dass bei einer Wachstumsrate R um 3,8 ein chaotisches Verhalten seiner Modellrechnung einsetzt.^[6]

In den 1970 - 80er Jahren entdeckte Mitchell Feigenbaum die Phänomene der logistischen Gleichung und die nach ihm benannte Feigenbaum-Konstante. Diese Gleichung korrespondiert mit der von Benoit Mandelbrot 1980 untersuchten Mandelbrot-Menge, da sie ebenfalls auf einer quadratischen Gleichung beruht.

Etwa zur selben Zeit arbeiteten Siegfried Großmann in Marburg und Hermann Haken in Stuttgart an der Formulierung ihrer Theorien, die bald von den Ideen um Mandelbrot und Feigenbaum inspiriert wurden. Großmann formulierte eine Beschreibung des Lasers mit Hilfe der nichtlinearen Dynamik, und Haken gilt als Begründer der Synergetik und Entdecker des sogenannten Versklavungseffekts. Die Mandelbrot-Menge, populär „Apfelmännchen“ genannt, gilt als eines der formenreichsten Fraktale, das überhaupt bekannt ist.

Ab den 1980er Jahren wurden an vielen Universitäten Arbeitsgruppen eingerichtet, wie z.B. in Graz, Wien oder Regensburg. In München wirkte die „Chaosgruppe der TU München“ unter der Leitung von Alfred Hübler mit zahlreichen Forschungsprojekten am Lehrstuhl Physik E13 (Edgar Lüscher). Sie organisierte sich nach dem Tod Lüschers in einem Forschungsverein und veranstaltete eine Ringvorlesung und mehrere Jahrestagungen, bei denen versucht wurde, die gesamte Bandbreite der Chaosforschung zu repräsentieren und einen interdisziplinären Dialog zu ermöglichen. Es entstanden auch große Forschungsinstitute wie z. B. das Santa Fe Institute (USA) oder das Institut für nichtlineare Dynamik in Potsdam.

2006 wurde das Center for Nonlinear Science in Münster (Westfalen) gegründet.

Die aktuelle Forschung befasst sich eher mit einem uneinheitlichen Satz von Phänomenen und Theorien. Viele Forscher, die sich heute noch mit der Thematik beschäftigen, würden sich selbst nicht mehr als Chaosforscher bezeichnen (siehe Kritik).

Kritik

Großformatige und farbige Darstellungen z. B. der Mandelbrotmenge in den Medien erregten Ende der 1980er Jahre Aufsehen in der Öffentlichkeit. Durch diese Bilder und die von Laien vermutete Nähe der Chaosforschung zu scheinbar unverstandenen Phänomenen des Alltags bis hin zur Esoterik entwickelte sich in dieser Zeit ein großes Interesse der Öffentlichkeit an diesem Thema. Dabei entstanden überzogene Erwartungen, die die Chaosforschung nicht erfüllen konnte. Hinsichtlich der oft als neu und wesentlich für die Chaosforschung angesehenen Kritik an der Vorhersagbarkeit wurde meist übersehen, dass in der Physik bereits seit der Entwicklung der Quantentheorie in den 1920er Jahren der Determinismus kein grundlegendes Prinzip der Beschreibung der Natur mehr darstellt und dass in der Mathematik das komplizierte Verhalten der Differentialgleichungen seit noch längerer Zeit diskutiert wird. Ende der 1980er Jahre postulierte James Gleick in dem Buch „Chaos: making a new science“ sogar einen Paradigmenwechsel in der Physik. Er bezog sich auf eine Abkehr von der Vorstellung einer besseren Beherrschbarkeit technischer Prozesse durch immer bessere Mess- und Berechnungsmethoden sowie von Großexperimenten hin zu kleinen Versuchsaufbauten, wie dem Doppelpendel oder dem tropfenden Wasserhahn, und zugehörigen Computerexperimenten. Dieses Buch wurde sehr populär und trug mit zu einem Hype der Chaosforschung bei. In den Medien wurde intensiv, aber eher weniger seriös „Chaostheorie“ oder Chaosforschung thematisiert. Mitte der 1990er Jahre ließ folgerichtig das Interesse der Öffentlichkeit nach.

Kritiker führen an, dass

• von einer Theorie im wissenschaftlichen Sinn nicht die Rede sein kann, Experten des Gebietes sich aber wenigstens über einige zentrale Eigenschaften einig sind
• eine übermäßige interdisziplinäre Orientierung eine Beliebigkeit des Forschungsgegenstandes zur Folge hatte (inzwischen hat man sich wieder in die einzelnen Gebiete wie z. B. Turbulenzforschung, Wetterforschung, Medizinforschung, Mathematik zurückgezogen)
• man mit mathematischer Sicherheit nur behaupten kann (und zwar seit langem), dass das chaotische Verhalten in den Modellen vorhanden ist, also zunächst eine Eigenschaft der Mathematik von Differentialgleichungen oder Iterationen darstellt
• durch die Eigenschaften der Empfindlichkeit der Abgleich von Modell und Experiment äußerst schwierig ist
• daher eine fatale Neigung besteht, weg vom Experiment, hin zu Simulationen (seit Galilei haben sich Theorien aber am Experiment zu bewähren)
• aus mathematischer Sicht im Chaos-Hype nur ein naiver Umgang von Wissenschaftlern mit ihrem Hilfswerkzeug Mathematik zum Vorschein kam. Denn wesentliche Eigenschaften von z. B. Iterationen, aber auch der Differentialgleichungen sind für Experten keineswegs überraschend durch die „unheimlichen“ Eigenschaften der irrationalen Zahlen bedingt, die gerade der Computer aber nicht beherrscht
• die computergestützten Simulationen prinzipbedingt über lange Zeiträume das behauptete Verhalten gar nicht zeigen können, weil Computer mit einer endlichen Menge von Zahlen operieren, der Zustandsraum also aus endlich vielen Volumenelementen besteht und sich somit immer ein streng periodisches Verhalten einstellen muss, wobei die Periodendauer durchaus sehr lang sein kann, siehe Rundungsfehler, Attraktor, Filterstrukturen
• die Differenzialgleichungen meist analytisch nicht lösbar sind, wir also in der Regel keine exakten Lösungen haben, numerische Integrationen aber blank als solche vorgestellt werden. Obwohl zwar das Schattenlemma garantiert, dass die Umformung der Differentialgleichung in eine Differenzengleichung nichts wesentlich verfälscht (obwohl dadurch ständig Fehler entstehen), gilt dies bereits nicht für eine numerische Behandlung mit endlicher Genauigkeit. Die folgenden Schritte der Linearisierung und numerischen Lösung der Linearen Gleichung verfügen ebenso über keine solche generelle Unbedenklichkeitsbescheinigung seitens der Mathematik. Selbst bei linearen Systemen mit einem Fixpunktattraktor ist seit langem bekannt, dass numerische Lösungsalgorithmen zu grob falschen, noch nicht einmal qualitativ richtigem Verhalten tendieren können, z.B. kann das Stabilitätsverhalten gegenüber dem realen System sich verbessern oder verschlechtern, aus einem Fixpunkt wird so eine ins Unendliche laufende Spirale und umgekehrt
• die behaupteten Eigenschaften sich gerade im Langzeitverhalten zeigen, das naturgemäß den größten Fehlern in der Simulation unterworfen ist
• Simulationen derselben Differentialgleichung unter verschiedenen Programmiersprachen, Betriebssystemen oder CPUs unterschiedliche Ergebnisse bringen müssen und auch bringen
• sich in Iterationen wie der logistischen Gleichung die Eigenschaften der reellen Zahlen zeigen. Es ist somit nicht erstaunlich, dass scheinbar nicht zusammenhängende Modelle auf gemeinsame Konstanten, wie etwa die Feigenbaum-Konstante führen können. Über die Physik, die von den Modellen beschrieben werden soll, ist damit nichts gesagt, denn Modelle sind Modelle und nicht die Wirklichkeit. So ist z. B. in der logistischen Gleichung die Population durch eine reelle Zahl modelliert, in der Wirklichkeit gibt es aber keine halben oder 3/8 Elefanten, also müsste man die natürlichen Zahlen zur Beschreibung heranziehen. Dies würde das Verhalten des Models drastisch ändern
• die klassische Physik nicht mehr die fundamentale Beschreibung der Welt ist, sondern die Quantenmechanik. Die Beschreibung der Zustände von gebundenen quantenmechanischen Systemen, etwa von Atomen, erfolgt aber nicht mit den reellen Zahlen und darauf basierenden Funktionen, sondern mit Termsymbolen, die auf den ganzen Zahlen beruhen. Insofern ist es zweifelhaft, ob die chaotischen Phänomene auf dieser Ebene der Beschreibung überhaupt eine Rolle spielen
• die chaotisch nichtlinearen Modelle theoretisch weiterhin deterministisch sind. Wenn wir die Gleichungen exakt lösen und die Anfangswerte und Parameter exakt vorgeben, so kommt immer exakt nachvollziehbar dasselbe Verhalten heraus. Die Probleme entstehen praktisch, weil nur Näherungslösungen bestimmt werden können und weil auch die Anfangswerte und Parameter nur näherungsweise angegeben werden können. Es ist ein Unterschied, ob etwas praktisch oder sogar auch theoretisch unvorhersagbar ist. Der Wetterbericht wird umso genauer, je mehr Messdaten ermittelt werden und je besser die Modelle sind. Es gibt keinen theoretischen Grund, warum die Wettervorhersage für einen bestimmten Zeithorizont nicht beliebig verbessert werden kann. Mit der Unschärferelation löst sich dieser Kritikpunkt allerdings, da diese beweist, dass man die Anfangsbedingungen nicht beliebig genau bestimmen kann.

Einzelnachweise

1. ↑ Werndl, Charlotte (2009). [http://bjps.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/60/1/195 What are the New Implications of Chaos for Unpredictability?]. The British Journal for the Philosophy of Science 60, 195-220.
2. ↑ Albert Christmann: Anwendungen der Synergetik und Chaostheorie in der Ökonomie. Karlsruhe 1990; Otto Loistl / Betz, Iro: Chaostheorie. Zur Theorie nichtlinearer dynamischer Systeme. München 1993
3. ↑ Bernd-Olaf Küppers: Chaos und Geschichte. Läßt sich das Weltgeschehen in Formeln fassen? in: Reinhard Breuer (Hg.): Der Flügelschlag des Schmetterlings. Ein neues Weltbild durch die Chaosforschung. Herne 1993; Walter L. Bühl: Sozialer Wandel im Ungleichgewicht. Zyklen, Fluktuationen, Katastrophen. Stuttgart 1990
4. ↑ Rainer Höger: Chaos-Forschung und ihre Perspektiven für die Psychologie. in: Psychologische Rundschau, 43. Jg., Heft 4, Göttingen 1992, S. 223 ff.
5. ↑ Thomas Fabian / Stadler, Michael: A chaos theoretical approach to delinquent behavior in psychosocial stress situations. in: Gestalt Theory, An international multidisciplinary journal, 13. Jg., Heft 2/1991, Opladen 1991, S. 98 ff.
6. ↑ Robert May: Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics, Nature 261 (1976)

Siehe auch

• Christopher Langtons Ameise (Turingmaschine)
• Systemtheorie
• Volterra-Regeln
• fraktale Geometrie
• Theoretische Biologie
• Lévy-Verteilung

Literatur (Auswahl)

• Paul Davies: Prinzip Chaos. Die neue Ordnung des Kosmos („Cosmic Blueprint“). Goldmann Verlag, München 1991, ISBN 3-442-11469-1.
• Bruno Eckardt: Chaos (Fischer-Taschenbuch; 15569). Fischer-Verlag, Frankfurt/M. 2004, ISBN 3-596-15569-X.
• James Gleick: Chaos, die Ordnung des Universums. Vorstoß in Grenzbereiche der modernen Physik („Chaos. Making a new science“). Droemer Knaur, München 1990, ISBN 3-426-04078-6.
• Günter Küppers (Hrsg.): Chaos und Ordnung. Formen der Selbstorganisation in Natur und Gesellschaft. Reclam, Ditzingen 1996, ISBN 3-15-009434-8.
• Gregor Morfill, Herbert Scheingraber: Chaos ist überall... und es funktioniert. Eine neue Weltsicht. Verlag Ullstein, Frankfurt/M. 1993, ISBN 3-548-35343-6.
• Peter Smith: Explaining Chaos, Cambridge: Cambridge University Press 1994. Standardwerk der Philosophie der Chaostheorie
• Marco Wehr: Der Schmetterlingsdefekt. Turbulenzen in der Chaostheorie. Klett-Cotta, Stuttgart 2002, ISBN 3-608-94322-6.
• Karin S. Wozonig: Chaostheorie und Literaturwissenschaft. Studienverlag, Innsbruck, Wien 2008, ISBN 978-3-7065-4507-5.

Weblinks

• Einführung in die Chaos-Forschung ehemalige Vorlesung an der Fachhochschule München
• H.-D. Mutschler: Chaostheorie und Theologie
• Einführung in die Mathematik nichtlinearer dynamischer Systeme
• Frank Grotelüschen, DRadio 13.11.05: Apfelmann im Abseits. Was wurde aus der Chaostheorie? Mit vier aktuellen Anwendungsbeispielen
• Interaktives Ausprobieren chaotischer Prozesse Internetseite von Robert Doerner