Distributivität

Distributivität

Die Distributivgesetze (lat. distribuere „Verteilen“), auf Deutsch Verteilungsgesetze, sind mathematische Regeln und geben an, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen, zum Beispiel Multiplikation (\cdot) und Addition (+), bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten. Man unterscheidet zwischen linksdistributiven und rechtsdistributiven Verknüpfungen:

a \cdot \left( b \pm c \right) = a \cdot b \pm a \cdot c (linksdistributiv)
\left( a \pm b \right) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c (rechtsdistributiv)

In Worten:

Eine Summe (bzw. Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jedes Glied mit diesem Faktor multipliziert und die Produktwerte addiert (bzw. subtrahiert).

Ist die „übergeordnete“ Verknüpfung, in diesem Fall die Multiplikation, kommutativ, so kann man aus der Linksdistributivität auch die Rechtsdistributivität folgern und umgekehrt. Die Distributivgesetze gehören zu den Axiomen für Ringe und Körper. Beispiele für Strukturen, in denen zwei Funktionen sich gegenseitig zueinander distributiv verhalten, sind Boolesche Algebren, wie die Algebra der Mengen oder die Schaltalgebra. Es gibt aber auch Kombinationen von Verknüpfungen, die sich nicht distributiv zueinander verhalten; zum Beispiel ist die Addition nicht distributiv über der Multiplikation.

In der Schulalgebra bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern oder Herausheben. Der umgekehrte Rechenschritt wird als Ausmultiplizieren bezeichnet.

Das Multiplizieren von Summen kann man auch folgendermaßen in Worte fassen: Eine Summe wird mit einer Summe multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe - unter Beachtung der Vorzeichen - multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.

Inhaltsverzeichnis

Verwendung

Gebrauch in der Schule

Fast jeder benutzt beim Kopfrechnen unbewusst das Distributivgesetz. Wenn man beispielsweise 6·16 im Kopf berechnet, multipliziert man 6·10 sowie 6·6 und addiert die Zwischenergebnisse.

Beispiele für reelle Zahlen

6\cdot 16=6\cdot\left(10+6\right)\quad=\quad 6\cdot10+6\cdot6=60+36=96
5\cdot\left(7+3\right)=5\cdot10=50\quad=\quad 5\cdot7+5\cdot3=35+15=50

Auch für Matrizen gilt das Distributivgesetz.

Siehe auch

Literatur

Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, München 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5. 


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Distributivität — Dis|tri|bu|ti|vi|tät, die; , en: das Distributivsein …   Universal-Lexikon

  • Faltung (Mathematik) — In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung, auch Konvolution (von lat. convolvere, „zusammenrollen“), einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert. Anschaulich… …   Deutsch Wikipedia

  • wp-Kalkül — Der wp Kalkül ist ein Kalkül in der Informatik zur Verifikation eines imperativen Programmcodes. Die Abkürzung wp steht für weakest precondition, auf deutsch schwächste Vorbedingung. Bei der Verifikation geht es nicht darum, die Funktion mit… …   Deutsch Wikipedia

  • Boolesche Algebra — In der Mathematik ist eine boolesche Algebra (oder ein boolescher Verband) eine spezielle algebraische Struktur, die die Eigenschaften der logischen Operatoren UND, ODER, NICHT sowie die Eigenschaften der mengentheoretischen Verknüpfungen… …   Deutsch Wikipedia

  • Diskrete Faltung — In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert. Diese gibt eine Art „Überlappung“ zwischen f und einer gespiegelten und… …   Deutsch Wikipedia

  • Faltungsintegral — In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert. Diese gibt eine Art „Überlappung“ zwischen f und einer gespiegelten und… …   Deutsch Wikipedia

  • Faltungsprodukt — In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert. Diese gibt eine Art „Überlappung“ zwischen f und einer gespiegelten und… …   Deutsch Wikipedia

  • Faltungssatz — In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert. Diese gibt eine Art „Überlappung“ zwischen f und einer gespiegelten und… …   Deutsch Wikipedia

  • Faltungstheorem — In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert. Diese gibt eine Art „Überlappung“ zwischen f und einer gespiegelten und… …   Deutsch Wikipedia

  • Glättungskern — In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert. Diese gibt eine Art „Überlappung“ zwischen f und einer gespiegelten und… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”