Fensterfunktion

Der Begriff Fensterfunktion stammt aus der digitalen Signalverarbeitung. Die Fensterfunktion legt fest, mit welcher Gewichtung die bei der Abtastung eines Signals gewonnenen Abtastwerte innerhalb eines Ausschnittes (Fenster) in nachfolgende Berechnungen eingehen. Fensterfunktionen kommen bei der Frequenzanalyse (z. B. mittels diskreter Fouriertransformation), beim Filterdesign, beim Beamforming und anderen Signalverarbeitungsanwendungen zum Einsatz.

Anwendungen

Frequenzanalyse

Ein andauerndes Signal wird in der Regel in Blöcken verarbeitet. Da Blocklängen in der Praxis endlich sind, kommt es zum sogenannten Leck-Effekt (englisch Leakage effect), wenn die Blocklänge nicht gerade ein natürlichzahliges Vielfaches der Periode des Signals ist. Das errechnete Frequenzspektrum wird zu breit, es ist bildlich gesprochen „verschmiert“. Dieser Effekt resultiert aus den Eigenschaften der Fourier-Transformation (Multiplikation von Signalen führt zu Faltung im Frequenzraum).

Durch die Verwendung einer geeigneten Fensterfunktion lässt sich der Effekt vermindern, aber nicht ganz vermeiden. Das Signal wird hierbei meistens am Fensterbeginn „eingeblendet“ und am Fensterende „ausgeblendet“, was zu einer künstlichen Periodisierung des Signals innerhalb der Zeitfensterlänge führt.

Die Fensterfunktion beeinflusst neben der spektralen Verbreiterung außerdem die Frequenzselektivität und den maximal möglichen spektralen Fehler. Es gibt verschiedene Fensterfunktionen unterschiedlicher Komplexität. Die Auswahl einer passenden Fensterfunktion ist daher stets ein Kompromiss, der den speziellen Anforderungen des jeweiligen Anwendungsfalls Rechnung trägt.

Filterdesign

Eine häufig angewandte Methode für das Design von digitalen Filtern mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) ist die Fenstermethode (Window method).

Dabei wird der gewünschte Frequenzgang des Filters definiert und mit der inversen Fouriertransformation die ideale Impulsantwort ermittelt. Das Resultat der inversen Fouriertransformation ist in der Regel unendlich lang. Um eine endlich lange Impulsantwort mit der gewünschten Filterlänge N zu erhalten, wird durch eine Fensterfunktion ein Ausschnitt der unendlichen Impulsantwort ausgewählt. Der tatsächliche Frequenzgang des Filters entspricht somit der Faltung des gewünschten Frequenzgangs mit der Fouriertransformierten der Fensterfunktion.

Im Filterdesign führen breite (selektive) Fensterfunktionen zu steilen Übergängen zwischen Durchlass- und Sperrbereich, aber zu geringer Sperrdämpfung. Schmale (nicht selektive) Fensterfunktionen führen zu flachen Übergängen zwischen Durchlass- und Sperrbereich, dafür aber zu großer Sperrdämpfung.

Beispiele von Fensterfunktionen

Im folgenden sind gebräuchliche Fensterfunktionen dargestellt. In den Grafiken sind in der linken Darstellung die diskreten Fensterfunktion mit N Werten dargestellt, ausserhalb des dargestellten Bereiches weist jede Fensterfunktion den in den Grafiken nicht explizit dargestellten Wert 0 auf. In der rechten Darstellung ist das der Fensterfunktion zugeordnete Frequenzspektrum mit 128 Frequenzkomponenten abgebildet und wie es durch die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) gewonnen wird. Das Signal wird im Frequenzbereich mit diesem Spektrum der Fensterfunktion gefalten, wobei die Bewertung von idealen Fensterfunktionen meist durch ein schmales Spektrum um die Mittenfrequenz und starke Dämpfungen ausserhalb gekennzeichnet ist.

Dabei ist M gerade und die Fensterbreite. n ist der aktuelle Index des Eingangssignals.

Rechteck-Fenster

Rechteck-Fensterfunktion

Die Rechteck-Fensterfunktion ist im gesamten Fensterbereich 1 und außerhalb 0. Die Funktion ist gegeben als:

$w(n) = 1, \qquad n = 0 \ldots M-1 \,$

Die einfache Verarbeitung des Eingangssignals in Blöcken entspricht der Anwendung dieser Fensterfunktion. Das Betragsspektrum entspricht dem Betragsverlauf der si-Funktion. Nur im Sonderfall wenn die Fensterbreite exakt ein ganzzahliges Vielfaches der Periodendauer der harmonischen Signalschwingung umfasst, tritt bei zeitdiskreten Signalen zufolge der Fensterung mit dem Rechteck-Fenster kein Leckeffekt auf.

Hamming-Fenster

Hamming-Fensterfunktion

Funktion:

$w(n) = 0{,}54 + 0{,}46 \cdot \cos\left(\frac{2\pi n}{M}\right), \; n = -\frac{M}{2}, \ldots, \frac{M}{2}-1 \,$

dabei ist M die Fensterbreite und n der aktuelle Index des Eingangssignals. Diese Fensterfunktion ist benannt nach Richard Hamming.

von-Hann-Fenster

Hann-Fensterfunktion

Auch bezeichnet als Raised-Cosinus-Fenster, mit folgender Funktion:

$w(n) = \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{2\pi n}{M}\right)\right],$

mit

$n = -\frac{M}{2}, \ldots, \frac{M}{2}-1$

Die Bezeichnung Hann-Fenster stammt aus der Publikation „Particular Pairs of Windows.“ von R. B. Blackman und John W. Tukey (veröffentlicht in „The Measurement of Power Spectra, From the Point of View of Communications Engineering“, New York: Dover, 1959, pp. 98-99), die dieses nach Julius von Hann benannt haben. Aus diesem Artikel stammt auch die weit verbreitete Bezeichnung Hanning-Fenster, wobei dort jedoch lediglich die Anwendung des Hann-Fensters als „hanning“ (abgeleitet von „to hann“) bezeichnet wird.

Blackman-Fenster (3-Term)

Blackman (3-Term)-Fensterfunktion mit α = 0,16

Blackman-Fenster sind definiert als:

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{M-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{M-1} \right)$

mit

$a_0=\frac{1-\alpha}{2};\quad a_1=\frac{1}{2};\quad a_2=\frac{\alpha}{2}\,$

Üblicherweise wird beim klassischen Blackman-Fenster α=0,16 gewählt.

Blackman-Harris Fenster

Blackman-Harris Fensterfunktion

Funktion:

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{M-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{M-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{M-1} \right)$

mit

$a_0=0{,}35875;\quad a_1=0{,}48829;\quad a_2=0{,}14128;\quad a_3=0{,}01168\,$

Frederic J. Harris veröffentlichte diese Funktion 1978 als Abwandlung der Blackman-Fensterfunktion.^[1]

Blackman–Nuttall Fenster

Blackman–Nuttall Fensterfunktion

Funktion:

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{M-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{M-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{M-1} \right)$

mit

$a_0=0{,}3635819; \quad a_1=0{,}4891775; \quad a_2=0{,}1365995; \quad a_3=0{,}0106411\,$

Das Blackman–Nuttall Fenster ist bis auf die vier fast identen Koeffizienten ident mit dem Blackman-Harris Fenster, was den Einfluss der notwendigen Genauigkeit bei der Implementierung der Koeffizienten bei dieser Klasse von Fensterfunktionen verdeutlicht.

Bartlett-Fenster

Bartlett-Fensterfunktion

Diese Fensterfunktion ist nach Albert Charles Bartlett benannt:

$w(n)=\frac{2}{M-1}\cdot\left(\frac{M-1}{2}-\left |n-\frac{M-1}{2}\right |\right)\,$

Dreieck-Fensterfunktion

Eine eng verwandte Variation der Bartlett-Fensterfunktion basiert auf der Dreieckfunktion und weist als Unterschied an den Anfangs- bzw. Endwerten keine Nullwerte auf. Sie ist definiert als

$w(n)=\frac{2}{M}\cdot\left(\frac{M}{2}-\left |n-\frac{M-1}{2}\right |\right)\,$

Das Dreieckfunktion-Fenster kann als eine Faltung zwei Rechteckfenster aufgefasst werden, die Hauptkeule ist doppelt so breit wie bei dem Rechteckfenster und die nächste Nebenkeule weist eine Dämpfung um -26 dB auf.^[2]

Bartlett-Hann-Fenster

Bartlett-Hann Fensterfunktion

Dies ist eine Kombination der Dreieckfunktion des Bartlett-Funktion mit der Hann-Fensterfunktion:

$w(n)=a_0 - a_1 \left |\frac{n}{M-1}-\frac{1}{2} \right| - a_2 \cos \left (\frac{2 \pi n}{M-1}\right )$

mit

$a_0=0{,}62;\quad a_1=0{,}48;\quad a_2=0{,}38\,$

Kosinus-Fenster

Kosinus-Fenster

Die Kosinus-Fensterfunktion ist auch als Sinus-Fensterfunktion bekannt. Sie ist definiert als:

$w(n) = \cos\left(\frac{\pi n}{M-1} - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi n}{M-1}\right)$

Tukey-Fenster

Tukey-Fenster mit α=0,5

Die Tukey-Fensterfunktion, benannt nach John W. Tukey, kann als eine auf $\tfrac{\alpha M}{2}$ Abtastwerte abgeflachte Kosinus-Fensterfunktion, welche mit einem Rechteckfenster der Breite $\left(1 -\tfrac{\alpha}{2}\right)M$ gefalten wird, aufgefasst werden. Für α=0 geht die Tukey-Fensterfunktion in das Rechteckfenster über. Für α=1 entspricht sie dem Hann-Fenster.^[3][4]

$w(n) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2} \left[1+\cos \left(\pi \left( \frac{2 n}{\alpha (M-1)}-1 \right) \right) \right] & \mbox{wenn}\, 0 \leqslant n \leqslant \frac{\alpha (M-1)}{2} \\ [0.5em] 1 & \mbox{wenn}\, \frac{\alpha (M-1)}{2}\leqslant n \leqslant (M-1) (1 - \frac{\alpha}{2}) \\ [0.5em] \frac{1}{2} \left[1+\cos \left(\pi \left( \frac{2 n}{\alpha (M-1)}- \frac{2}{\alpha} + 1 \right) \right) \right] & \mbox{when}\, (M-1) (1 - \frac{\alpha}{2}) \leqslant n \leqslant (M-1) \\ \end{matrix} \right.$

Lanczos-Fenster

Lanczos-Fenster

Das Lanczos-Fenster basiert auf der normierten si-Funktion, ähnlich wie der Lanczos-Filter:

$w(n) = \mathrm{sinc}\left(\frac{2n}{M-1}-1\right)$

Kaiser-Fenster

Kaiser-Fenster mit α=2

Kaiser-Fenster mit α=3

Das Fenster ist definiert durch die Funktion^[5]:

$w(n) = \frac{I_0\left(\alpha\left[1 - \left(\frac{2n}{M}\right)^2\right]^\frac{1}{2}\right)}{I_0\left(\alpha\right)}, \; n = -\frac{M}{2}, \ldots, \frac{M}{2} - 1$

Dabei ist I₀ die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung. Die Fensterbreite beträgt M und α ist ein reeller Faktor, welcher die Form des Fensters bestimmt. Je größer α, desto schmaler wird das Fenster und α = 0 entspricht einem Rechteckfenster.

Die Fouriertransformierte des Fensters w(n) ist definiert durch die Funktion

$W_\mathrm{K}(\omega)= \frac{(M+1)\cdot\sinh\left(\sqrt{\alpha^2-\left(\frac{(M+1)\cdot\omega}{2}\right)^2}\right)}{I_0(\alpha)\cdot\sqrt{\alpha^2-\left(\frac{(M+1)\cdot\omega}{2}\right)^2}}$

für die normierte Frequenz $-\pi \leq \omega \leq \pi$.

Mit der Funktion W_K(ω) lässt sich die Breite des Hauptmaximums

$B_0 = \frac{4\cdot\sqrt{\pi^2+\alpha^2}}{M+1}$

und die relative Dämpfung des Nebenmaximums

$A_\mathrm{SL} = 20\cdot\log_{10}\left[\frac{\sinh\alpha}{0{,}217234\alpha}\right]$

berechnen. Daraus ergibt sich: Wenn α größer wird, nimmt die Breite des Hauptmaximums zu und die relative Amplitude des Nebenmaximums ab.

Gauss-Fenster

Gauss-Fenster mit σ=0,4

Das Gauss-Fenster basiert auf der Gaußschen Glockenkurve welche sich bis nach unendlich ausdehnt und daher zeitlich begrenzt ausgeführt werden muss. Dies bedeutet eine Kombination mit dem Rechteck-Fenster.

Das Fenster ist gegeben als:

$w(n)=e^{-\frac{1}{2} \left ( \frac{n-(M-1)/2}{\sigma (M-1)/2} \right)^{2}}$

mit

$\sigma \le \;0{,}5\,$

Weitere

Dolph-Chebyshev^[6], Rife-Vincent^[7], Slepian (DPSS), Poisson

Vergleich der Fensterfunktionen

Fensterfunktionen überlagert

Bewertungskriterien für Fensterfunktionen

Alle gängigen Bewertungskriterien beziehen sich auf die Übertragungsfunktion (Fouriertransformation der Fensterfunktion) im Frequenzbereich. Zum Vergleich und zur Auswahl der richtigen Fensterfunktion werden die folgenden Bewertungskriterien verwendet:

Breite des Hauptmaximums (Hauptzipfels)

Eine Verbreiterung des Hauptmaximums führt zu einem schnelleren Abfall der Nebenmaxima (Nebenzipfel), erhöht die Dynamik der Fensterfunktion und verringert den Leck-Effekt. Allerdings wird dabei die Frequenzselektivität verringert. Fensterfunktionen mit breitem Hauptmaximum werden deshalb auch als nichtselektive, dynamische Fenster bezeichnet, und solche mit schmalem Hauptmaximum als selektive, nichtdynamische Fenster.

Die Breite des Hauptmaximums wird meistens als 3-dB-Grenzfrequenz angegeben. Dies ist die Frequenz, bei der die Amplitude des Hauptmaximums um 3 dB abgefallen ist. Selten wird auch die gesamte Breite des Maximums bis zu den Nullstellen angegeben.

Relative Amplitude des Nebenmaximums

Starke Nebenmaxima einer Fensterfunktion erhöhen den Leck-Effekt bei der Frequenzanalyse und deuten auf eine geringe Dynamik der Fensterfunktion hin.

Als Bewertungskriterium wird das Verhältnis zwischen der Amplitude des Hauptmaximums und der Amplitude des höchsten Nebenmaximums verwendet.

Leck-Faktor (Leakage Factor)

Der Leck-Effekt wird durch tiefe Nebenmaxima verringert. Der Leck-Faktor ist definiert als das Verhältnis der Leistung unter allen Nebenmaxima zur Leistung der gesamten Funktion.

Maximaler Abtastfehler

Der maximale Abtastfehler ist definiert als das Verhältnis der Amplitude des Hauptmaximums zur Amplitude bei der Frequenz π/Fensterlänge.

Veranschaulichung der Bewertungskriterien für Fensterfunktionen anhand eines Rechteckfensters mit der Länge M = 16. B_3dB: 3dB Breite des Hauptmaximums, B₀: gesamte Breite des Hauptmaximums bis zu den Nullstellen, A_SL: Relative Amplitude des Nebenmaximums, E_A: Maximaler Abtastfehler.

Vergleich nach oben genannten Bewertungskriterien

Spektrum Rechteckfenster (schwarz) und Hammingfenster (rot)

Verbreiterung des Hauptmaximums führt zu schnellerem Abfall der Nebenmaxima. Exemplarisch ist dies in nebenstehender Abbildung an Rechteck- und Hamming-Fenster gezeigt.

Fensterbezeichnung	rel. Amplitude des Nebenmaximums	Breite des Hauptmaximums	max. Abtastfehler
Rechteck	- 13 dB	4 π / (M+1)	3,92 dB
Dreieck (Bartlett)	- 25 dB	8 π / M	1,82 dB
von Hann	- 31 dB	8 π / M	1,42 dB
Hamming	- 41 dB	8 π / M	1,78 dB
Kaiser-Bessel (α=2)	- 46 dB		1,46 dB
Kaiser-Bessel (α=3,5)	- 82 dB		0,89 dB
Blackman	- 57 dB	12 π / M	1,10 dB

Einzelnachweise

1. ↑ Frederic J. Harris, On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform, Proceedings of the IEEE, Vol. 66, No. 1, January 1978, pp 51-83.
2. ↑ https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Properties_I_I_I.html
3. ↑ J.W. Tukey: An introduction to the calculations of numerical spectrum analysis. In: Spectral Analysis of Time Series. 1967, S. 25–46.
4. ↑ F.J. Harris: On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform. In: Proceedings of the IEEE. 66, 1978, S. 51–83. doi:10.1109/PROC.1978.10837.
5. ↑ James F. Kaiser and Ronald W. Schafer, On the Use of the Io-Sinh Window for Spectrum Analysis, IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol. ASSP-28, No. 1, February 1980, pp 105-107.
6. ↑ F. J. Harris, On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform, Proceedings of the IEEE, vol. 66, pp. 51-83, Jan 1978.
7. ↑ D. C. Rife and G. A. Vincent, "Use of the Discrete Fourier Transform in the Measurement of Frequencies and Levels of Tones," Bell Sys. Tech. J., pp. 197ff (1970 Feb.).

Literatur

• Karl-Dirk Kammeyer, Kristian Kroschel: Digitale Signalverarbeitung. 6 Auflage. Teubner, 2006, ISBN 3-8351-0072-6.