D’Alembertoperator

Der d’Alembert-Operator $\square$ (nach Jean Baptiste le Rond d’Alembert) ist ein Differentialoperator, der sich aus der Verallgemeinerung des Gradienten im vierdimensionalen Minkowskiraum ergibt. Er wird auch Quabla, Viereckoperator, Box-Operator oder Wellenoperator genannt.

Definition

Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) wird der Vierergradient, ein kovarianter Vektor, durch

$\partial_\mu=\left(\partial_{ct},-\nabla \right)=\left(\partial_{ct},-\partial_x,-\partial_y ,-\partial_z \right)$.

definiert. Die kontravarianten Komponenten ergeben sich durch Heraufziehen des kovarianten Index zu:

$\partial^\mu=\eta ^{\mu \nu}\partial_{\nu}=\left(\partial_{ct},\partial_x,\partial_y ,\partial_z \right)$

Durch Kombination der beiden Operatoren lässt sich der lorentzinvariante d’Alembert-Operator bilden:

$\square := \partial^\mu \partial_\mu = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \frac{\partial ^2}{\partial x^2} - \frac{\partial ^2}{\partial y^2} - \frac{\partial ^2}{\partial z^2} = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \Delta$

Er enthält nur zweite Ableitungen.

Vorzeichenkonventionen

Wie in der SRT üblich sind die Vorzeichen von der Signatur der Metrik abhängig. Oft wird - wie oben - in der SRT die Konvention (+,−,−,−) für die Signatur der Minkowski-Metrik verwendet, ansonsten benutzt man die Konvention (−,+,+,+). ^[1] Für die erste Signatur ergibt sich der d’Alembert-Operator, wie oben bereits gezeigt, zu:

$\square = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \Delta$

Für die andere Signatur ergibt sich analog:

$\square = \Delta - \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2}$ ^[2]

Beide Ergebnisse sind gebräuchlich. Sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Als Konsequenz bleibt insbesondere festzuhalten, dass die Wellengleichung (siehe unten) nicht  von der gewählten Konvention abhängt:

Wellengleichung

Ursprünglich kommt der d'Alembert-Operator aus der Elektrodynamik und ergibt sich bei der Herleitung der Wellengleichung. Hieran ist deutlich zu erkennen ^[3], dass es sich bei der Elektrodynamik um eine relativistische Theorie handelt. Zudem ist der d'Alembert-Operator ein Lorentz-Skalar und somit invariant unter Lorentz-Transformationen. Er spielt damit auch eine wichtige Rolle in der relativistischen Elektrodynamik. Unter Verwendung des d'Alembert-Operators kann für eine zweimal differenzierbare Funktion f(x,t) die Wellengleichung in einer sehr kompakten Form geschrieben werden

$\square f = 0$

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Sehr selten benutzt man auch die „komplexe“ Signatur (i,1,1,1), bei der wegen der formalen Identität i²=-1 kontravariante und kovariante Vektorkomponenten nicht explizit unterschieden werden müssen, sondern alles „wie in der elementaren Vektorrechnung“ zu funktionieren scheint, wofür man aber an anderer Stelle schwerwiegende Nachteile einhandelt.
2. ↑ Dasselbe Ergebnis ergibt sich auch mit der gerade genannten „komplexen“ Signatur.
3. ↑ Diese Erkenntnis wäre schon möglich gewesen, bevor Einsteins SRT entstand.

Literatur

• Torsten Fließbach: Elektrodynamik. Lehrbuch zur theoretischen Physik II, 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag