Einheit (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter einer Einheit in einem unitären Ring (Ring mit 1) $(R,+,\cdot,0,1)$ jeden beidseitigen Teiler von 1 (dem neutralen Element der Multiplikation).

Wenn es also a,b aus R gibt mit $a\cdot b = b\cdot a = 1$, so sind a und b beide Einheiten. In diesem Fall heißt b das zu a inverse Element, und a das zu b inverse.

Die Menge der Einheiten

$R^* := \{ x \in R \,|\, \exists y \in R : x \cdot y = y\cdot x = 1 \}$

ist mit der Multiplikation eine Gruppe, die so genannte Einheitengruppe von R, seltener wird auch die Notation E(R) verwendet. Man beachte, dass aus der Definition der Einheitengruppe insbesondere nicht folgt, dass R ^* kommutativ ist.

Beispiele

• 1 ist immer eine Einheit (weil 1 · 1 = 1).
• 0 ist in einem Ring genau dann eine Einheit, wenn der Ring der Nullring ist.
• Nullteiler sind niemals Einheiten.
• In einem Körper $\mathbb K$ ist ${\mathbb K}^* = \mathbb K \setminus \{0\}$. Das heißt, in einem Körper ist außer der 0 jedes Element eine Einheit.
• In dem Polynomring über dem Körper $\mathbb K$ gilt $\mathbb K[X]^* = \mathbb K^*$. Die Einheiten entsprechen also genau den Polynomen mit Grad null.
• Im Ring $\Bbb Z$ der ganzen Zahlen gibt es nur die Einheiten 1 und −1.
• Im Ring $\Bbb Z[\mathrm{i}]$ der ganzen gaußschen Zahlen gibt es die vier Einheiten 1, −1, i, −i.

Der nichtkommutative Fall

Ist der unitäre Ring R nicht kommutativ, dann benötigt man Begriffe für einseitige Einheiten.

• Ein Element a, das die Bedingung ab = 1 für ein Element b erfüllt, heißt Linkseinheit.
• Ein Element a, das die Bedingung ba = 1 für ein Element b erfüllt, heißt Rechtseinheit.
• Ein Element a heißt Einheit, falls es Elemente b und c gibt mit ab = 1 und ca = 1.

Ein Element $a\in R$ ist also genau dann eine Einheit, wenn es gleichzeitig eine Linkseinheit und eine Rechtseinheit ist. In einem kommutativen Ring stimmen die drei Begriffe überein. 1 bleibt auch im nicht-kommutativen Fall eine (beidseitige) Einheit.

Ist a eine Einheit, dann folgt aus b = 1b = cab = c1 = c, dass die einseitigen Inversen b und c eindeutig bestimmt sind und übereinstimmen, das Inverse von a ist also eindeutig bestimmt und wird meist mit a ^{− 1} bezeichnet.

Beispiel

Es gibt den folgenden Ring R, in dem es eine Linkseinheit A gibt, die keine Rechtseinheit ist, und eine Rechtseinheit B, die keine Linkseinheit ist. Außerdem sind A und B noch einseitige Nullteiler.

R bestehe aus allen Matrizen der Größe "abzählbar-mal-abzählbar" mit Komponenten in den reellen Zahlen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nicht-Nullen stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nicht-Nullen enthalten sein). R ist ein Ring mit der gewöhnlichen Matrix-Addition und -Multiplikation. Die Einheitsmatrix E hat nur Einsen auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen, sie ist das Einselement von R (das neutrale Element der Multiplikation).

A sei die Matrix in R, die in der ersten oberen Nebendiagonalen nur Einsen hat und sonst nur Nullen:

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &0&0&\\ 0 & 0 & 1 &0&0&\cdots\\ 0 & 0 & 0 &1&0&\\ 0&0&0&0&1&\ddots\\ &\vdots&&&\ddots&\ddots \end{pmatrix}$

B sei die Transponierte A^T von A, also die Matrix, die in der ersten Diagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen nur Einsen hat, und sonst nur Nullen.

Es ist AB = E, also ist A eine Linkseinheit und B eine Rechtseinheit. Für jedes Element C von R hat aber das Produkt CA in der ersten Spalte nur Nullen, und das Produkt BC in der ersten Zeile nur Nullen. Damit kann A keine Rechtseinheit und B keine Linkseinheit sein. Mit der Matrix D, die nur in der Komponente D_1,1 eine Eins und sonst nur Nullen enthält, ist AD = 0 und DB = 0, also ist A ein Linksnullteiler und B ein Rechtsnullteiler.

Eine funktionalanalytische Variante dieses Beispiels ist der unilaterale Shiftoperator.