Nullring

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra nennt man den bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Ring, der nur aus dem Nullelement besteht, Nullring oder trivialen Ring.

Da wie in jedem Ring $0\cdot0=0$ gilt, ist die Null auch gleichzeitig das Einselement des Ringes. Ein Ring, in dem 1 = 0 gilt, ist isomorph zum Nullring, denn hier gilt $\forall r\in R: r = 1\cdot r = 0\cdot r = 0$.

Der Nullring ist kein Körper, da für diese Strukturen immer $1 \ne 0$ gefordert wird. Er ist auch kein Integritätsring, da er für einen beliebigen Ring R isomorph zu R / R ist, der ganze Ring aber kein Primideal ist.

Eigenschaften

Der Nullring ist der einzige Ring, in dem jedes Element eine Einheit ist. Daher ist er der einzige Ring, in dem es kein maximales Ideal gibt und in dem die 0 eine Einheit ist. Man begegnet ihm zum Beispiel, wenn man einen Ring nach sich selbst faktorisiert oder indem man nach einem multiplikativen System, das die 0 beinhaltet, lokalisiert.

In der Kategorie der Ringe mit 1 ist der Nullring terminales Objekt, d.h. von jedem Ring gibt es genau einen Morphismus in den Nullring. Weiterhin ist jeder Morphismus aus dem Nullring heraus bereits ein Isomorphismus.

In der Kategorie aller Ringe ist der Nullring sogar Nullobjekt.