Endlich erzeugte Gruppe

Eine endlich erzeugte Gruppe ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der abstrakten Algebra. Es handelt sich um einen Spezialfall einer Gruppe.

Definition

Eine Gruppe G heiß endlich endlich erzeugt, falls es eine endliche Teilmenge $S \subset G$ gibt, die G erzeugt. Dies bedeutet, dass G die kleinste Untergruppe von G ist, die S enthält. Die Teilmenge S nennt man Erzeugendensystem von G.

Bemerkungen

Mit $\langle S \rangle$ notiert man oftmals die von S erzeugte Gruppe. Das Erzeugendensystem einer endlich erzeugten Gruppe ist jedoch nicht eindeutig. In der Algebra betrachtet man insbesondere endlich erzeugte abelsche Gruppen, da man diese recht einfach klassifizieren kann.

Beispiele

• Die endlichen Gruppen sind insbesondere endlich erzeugt.
• Die ganzen Zahlen $(\Z,+)$ sind eine endlich erzeugte Gruppe mit Erzeugendensystem 1.
• Insbesondere sind alle zyklischen Gruppen endlich erzeugte Gruppen.

Literatur

• Serge Lang: Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag 2002, ISBN 978-0-387-95385-4