Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen ist ein Resultat aus der Gruppentheorie, insbesondere der Theorie über endlich erzeugte abelsche Gruppen, also Gruppen, die zum einen unter ihrer binären Verknüpfung kommutieren und zudem jedes Element $g\in G$ eine Darstellung als Kombination von Potenzen^[1] der Erzeugerelemente darstellbar ist. Die Aussage des Satzes ist, dass für alle diese Gruppen eine Zerlegung oder Dekomposition in endlich viele zyklische Untergruppen, das sind Gruppen, die von genau einem Element erzeugt werden, existiert, die im direkten Produkt G ergeben. Wegen der Tatsache, dass jede zyklische Gruppe endlicher Ordnung isomorph zu $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ ist und jede zyklische Gruppe unendlicher Ordnung isomorph zu $\mathbb{Z}$, kann man also auch eine endliche Zerlegung in Ganze Zahlen und ihre Restklassengruppen angeben.

Anders formuliert, besagt der Hauptsatz, dass eine endlich erzeugte abelsche Gruppe direktes Produkt einer frei abelschen Gruppe von endlichem Rang und einer endlichen abelschen Gruppe ist. Die endliche abelsche Gruppe ist die Torsionsuntergruppe von G; die frei abelsche Gruppe ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, sondern nur ihr Rang.

Aussage

Ist G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe so gibt es eindeutig bestimmte nicht-negative ganze Zahlen r,t sowie eindeutig bestimmte Primzahlpotenzen $1< d_1\le \ldots\le d_t$ mit

$G\cong \Z^r \oplus \bigoplus_{i=1}^t \Z/d_i\Z.$

Beweisidee

Die Existenz der Zerlegung zeigt man, indem von einem beliebigen Erzeugendensystem ausgehend durch elementare Umformungen ein geeignetes ggf. anderes Erzeugendensystem konstruiert wird, das die Abspaltung eines Summanden zulässt. Auf diese Weise wird ein Beweis durch vollständige Induktion nach der Anzahl der Erzeuger ermöglicht.

Korollare und Beispiele

Korollare

• Die Eigenschaften frei, projektiv, torsionsfrei, flach sind in endlich erzeugten abelschen Gruppen äquivalent.

Literatur

• Müller-Stach, Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie , Vieweg ISBN 978-3-8348-0211-8.
• Leutbecher: Zahlentheorie – Eine Einführung in die Algebra, Springer ISBN 978-3540587910.
• Siegfried Bosch: Algebra, 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.

Anmerkungen

1. ↑ In diesem Artikel wird die Operation als multiplikativ aufgefasst. Es handelt sich dabei nur um eine Schreibweise und man könnte auch ohne Weiteres von Vielfachen sprechen. Im Weiteren wird darauf nicht mehr hingewiesen.

Weblinks

 Wikibooks: Beweis des Satzes – Lern- und Lehrmaterialien