Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation

Endliche einfache Gruppen, im Folgenden kurz als „einfache Gruppen“ bezeichnet, gelten in der Gruppentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) als die Bausteine der endlichen Gruppen.

Einfache Gruppen spielen für die endlichen Gruppen eine ähnliche Rolle wie die Primzahlen für die natürlichen Zahlen: Jede endliche Gruppe lässt sich in endlich vielen Schritten aus einfachen Gruppen konstruieren; jede endliche Gruppe lässt sich auch wieder in ihre einfachen Gruppen zerteilen. Es gibt jedoch keine „noch einfacheren Gruppen“, aus denen sich die endlichen einfachen Gruppen konstruieren lassen.

Definition

Eine Gruppe G heißt einfach, wenn sie nur $\left\{e\right\}$ und sich selbst als Normalteiler besitzt. Oft wird zusätzlich $G\neq\left\{e\right\}$ gefordert, oder sogar, dass G nicht abelsch ist. Da die Normalteiler einer Gruppe genau die Untergruppen sind, die als Kern eines Gruppenhomomorphismus auftreten, ist eine Gruppe G genau dann einfach, wenn jedes homomorphe Bild von G isomorph zu G oder zu $\left\{e\right\}$ ist. Eine weitere äquivalente Definition ist: Eine Gruppe ist genau dann einfach, wenn die Operation der Gruppe auf sich mittels Konjugation in der Kategorie der Gruppen und Gruppenhomomorphismen irreduzibel ist (das heißt, die einzigen unter der Konjugation invarianten Untergruppen sind $\left\{e\right\}$ und G).

Klassifikation

Seit 1962 war bekannt, dass alle nicht-abelschen einfachen Gruppen eine gerade Ordnung haben müssen (Satz von Feit und Thompson). Bis zur vollständigen Klassifikation war es aber noch ein weiter Weg.

Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert, sie lassen sich einteilen in

• zyklische Gruppen von Primzahlordnung,
• Gruppen vom Lie-Typ, 16 jeweils unendliche Serien,
• alternierende Gruppen A_n mit $n \geq 5$ und
• 26 sporadische Gruppen.

Zum Beweis des Klassifikationssatzes

Die Herleitung des Satzes war eines der umfangreichsten Projekte der Mathematikgeschichte:

• Der Beweis verteilt sich auf über 500 Fachartikel mit zusammen fast 15.000 gedruckten Seiten. Es sind aber nicht alle Beweise auch publiziert worden.
• Über 100 Mathematiker waren von Ende der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.

Da Teile des Satzes mit Hilfe von Computern überprüft wurden, wird der Beweis jedoch nicht von allen Mathematikern anerkannt. Nach der „Fertigstellung“ des Beweises um 1980 ist von führenden Mathematikern des Klassifikationsprogramms wie Michael Aschbacher und Daniel Gorenstein ein Programm aufgenommen worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere Komplikationen geschlossen werden konnten; eine Lücke erwies sich allerdings als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis erbracht werden konnte (Aschbacher, Smith: The classification of quasithin groups, AMS), der immerhin 1200 Seiten lang war - ein Grund war allerdings, dass sich die Autoren bemühten, diesmal möglichst ohne Verweise auszukommen.

Familien einfacher Gruppen (Beispiele)

Zyklische Gruppen mit Primzahlordnung

Die zyklischen Gruppen Z_p mit p = 2, 3, 5, 7, 11,... bilden eine Familie einfacher Gruppen.

Bei den einfachen Gruppen fallen die Eigenschaften zyklisch und kommutativ zusammen, denn jede zyklische Gruppe ist kommutativ und jede einfache kommutative Gruppe ist zyklisch.

Bei den einfachen Gruppen fallen die Eigenschaften zyklisch und ungerade Ordnung beinahe zusammen:

• Jede einfache zyklische Gruppe – außer Z₂ – besitzt eine ungerade Anzahl von Elementen.
• Jede einfache Gruppe mit ungerader Ordnung gehört zu den zyklischen Gruppen.

Alternierende Permutationsgruppen

Die alternierenden Permutationsgruppen Alt_n mit n größer als 4 bilden eine Familie der einfachen Gruppen.

Sporadische Gruppen

Die ersten 5 der insgesamt 26 sporadischen Gruppen (siehe dort zu einer tabellarischen Übersicht) wurden von Émile Mathieu bereits in den Jahren 1862 und 1873 entdeckt.

Die 21 „jüngeren“ Gruppen wurden ab 1964 gefunden; meist erfolgte die Entdeckung im Rahmen der Beweissuche zum Klassifikationssatz. Da diese Gruppen zum Teil recht groß sind, vergingen zwischen ihrer gruppentheoretischen Entdeckung und dem praktischen Beweis ihrer Existenz oft mehrere Jahre. Die größte aller 26 sporadischen Gruppen, die sogenannte Monstergruppe F1 mit rund 8 × 10⁵³ Elementen, wurde bereits 1973 von Bernd Fischer und Robert Griess junior entdeckt, ihre endgültige Konstruktion gelang Griess jedoch erst 1980.

Von einigen Autoren wird auch die Gruppe ²F₄(2)' mit 17971200 = 2¹¹·3³·5²·13 Elementen zu den sporadischen Gruppen gezählt, womit sich eine Gesamtzahl von 27 ergibt.

Weblinks und Literatur

• Dieter Held: Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen (PDF, 131 kB)
• Gerhard Hiss: Die sporadischen Gruppen (PostScript, 460 kB)
• Classification Theorem of Finite Groups bei Mathworld
• Michael Aschbacher: The Status of the classification of the finite simple groups. Notices AMS 2004, PDF, englisch
• Daniel Gorenstein: Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. In…
  • der Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft, Februar 1986.
  • und dem Sammelband Moderne Mathematik, Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0025-2.
  • Daniel Gorenstein, Lyons, Ronald Solomon: The classification of the finite simple groups. 1994, AMS Books online, englisch, Bd. 2 von 1996 ist hier: [1]
• Ronald Solomon: A brief history of the classification of finite simple groups. BAMS, Bd. 38, 2001, Heft 3, PDF
• Mark Ronan: Symmetry and the Monster. Oxford University Press 2006 (populärwissenschaftlich)
• Bernd Stellmacher, Hans Kurzweil: Theorie der endlichen Gruppen - eine Einführung. Springer 1998, ISBN 354060331X.

Siehe auch

• Liste kleiner Gruppen