Energie-Zeit-Unschärferelation

Die Energie-Zeit-Unschärferelation beschreibt eine Grenzbedingung für die erreichbare Messgenauigkeit von Energie und Zeit in der Quantenmechanik. Die Relation wurde zuerst von Werner Heisenberg zusammen mit der Unschärferelation für Ort und Impuls publiziert, sie beschreibt jedoch einen grundsätzlich anderen Zusammenhang. Ebenso wie die heisenbergsche Unschärferelation ist auch die Energie-Zeit-Unschärferelation prinzipieller Natur und wird nicht als Folge von Unzulänglichkeiten im Messprozess angesehen. Formal wurde sie von Heisenberg wie folgt formuliert^[1][2]

$\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$,

wobei h das plancksche Wirkungsquantum ist. Anders als bei der Unschärferelation für Ort und Impuls lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation nicht stringent aus dem Standardformalismus der Quantentheorie herleiten.

Über den quantenmechanischen Zusammenhang zwischen Energie und Kreisfrequenz, $E = \hbar\cdot\omega$, lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation auch als eine Frequenz-Zeit-Unschärferelation schreiben, $\Delta\omega\cdot\Delta t \ge \frac{1}{2}$, siehe auch Lebensdauer (Physik).

Herleitungen

Heuristisch lässt sich die Zeit-Energie-Unschärferelation folgendermaßen argumentieren:

$\Delta E\cdot\Delta t =F\Delta x\cdot\Delta t \approx \left (\frac{\Delta p}{\Delta t}\,\Delta x \right )\cdot\Delta t =\Delta p\cdot \Delta x \ge \frac{\hbar}{2}$.

In dieser Gleichungskette wurde verwendet, dass sich die Energie aus dem Produkt von Kraft F mal Weg Δx ergibt. Die Kraft F entspricht dabei der zeitlichen Ableitung des Impulses. Das letzte Ungleichheitszeichen ergibt sich aus der Unbestimmtheitsrelation für Ort und Impuls.

Eine formalere Herleitung für den Fall eines nicht explizit zeitabhängigen Hamilton-Operators H und einer ebenfalls nicht explizit zeitabhängigen Observable A definiert für A eine Zeit in der sich A um eine Standardabweichung ΔA ändert:

$\Delta t_{A} = \frac{\Delta A}{\left|\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle\right|}$

Aus dem Ehrenfest-Theorem folgt $\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle = \frac{i}{\hbar}\left\langle \left[H,A\right] \right\rangle$. Aus der Definition des Hamilton-Operators folgt ΔH = ΔE. Es lässt sich nun die Heisenbergsche Unschärferelation anwenden, aus dieser folgt:

$\Delta E \Delta A \geq \frac{1}{2} \left|\left\langle \left[H,A\right] \right\rangle\right| = \frac{\hbar}{2} \left| \frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle \right| \qquad \Rightarrow \qquad \Delta E \Delta t_{A} \geq \frac{\hbar}{2}$

Als letzter Argumentationsschritt wird der Index A von t_A weggelassen, da eine solche Eigenzeit für jede Observable definiert werden kann.^[3]

Referenzen

1. ↑ W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. 43, Nr. 3, 1927, S. 172–198, doi:10.1007/BF01397280 (Originalarbeit als HTML).
2. ↑ Werner Heisenberg: Physikalische Prinzipien der Quantentheorie. S. Hirzel Verlag, Leipzig 1930.
3. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-68868-6, Seite 220ff

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-68868-4. Seite 220ff