- Hamilton-Operator
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Der Hamiltonoperator
bestimmt in der Quantenmechanik die Zeitentwicklung und die möglichen Energien des zugehörigen physikalischen Systems, beispielsweise des Elektrons im Wasserstoffatom. Er ist nach William Rowan Hamilton benannt, auf den die hamiltonsche Formulierung der Mechanik zurückgeht, in der die Hamilton-Funktion die Zeitentwicklung und die Energie bestimmt.
Inhaltsverzeichnis
Zeitentwicklung und Energie
Jeder Zustand des betrachteten, physikalischen Systems wird in der Quantenmechanik durch einen zugehörigen Vektor ψ im Hilbertraum angegeben. Seine Zeitentwicklung wird nach der Schrödingergleichung durch den Hamilton-Operator
bestimmt,
Man erhält den Hamiltonoperator in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion
des entsprechenden klassischen System durch sogenannte kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für die Hamilton-Funktion als Funktion von Operatoren
und
liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen. Dies ist allerdings nicht eindeutig, da die Funktion
den Wert 0 hat, die Operatorfunktion
aber den Wert
Zudem ist
reell, aber
nicht hermitesch. Außerdem gibt es quantenmechanische Größen wie den Spin, die in der klassischen Physik nicht auftreten. Wie sie sich auf die Zeitentwicklung auswirken, folgt nicht aus Analogien mit der klassischen Physik, sondern man muss es aus den physikalischen Befunden erschließen.
Die Eigenwertgleichung
bestimmt die Eigenvektoren φE des Hamiltonoperators. Sie sind bei zeitunabhängigem Hamilton-Operator stationär, das heißt, in jeder beobachtbaren Eigenschaft zeitunabhängig. Die Eigenwerte E sind die zugehörigen Energien. Da der Hamiltonoperator hermitesch (genauer wesentlich selbstadjungiert) ist, besagt der Spektralsatz, dass die Energien reell sind und dass die Eigenvektoren eine Basis des Hilbertraums bilden (genauer, dass es eine zugehörige spektrale Zerlegung gibt). Je nach System kann das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich sein. Manche Systeme, zum Beispiel das Wasserstoffatom oder ein Teilchen im Potentialtopf, haben ein nach unten beschränktes, diskretes Spektrum und darüber ein Kontinuum möglicher Energien.
Der Hamiltonoperator erzeugt die unitäre Zeitentwicklung. Falls für alle Zeiten τ und
zwischen t0 und t der Hamiltonoperator H(τ) mit
kommutiert, so bewirkt
die unitäre Abbildung jedes anfänglichen Zustandes ψ(t0) auf den zugehörigen Zustand ψ(t) = U(t,t0)ψ(t0) zur Zeit
Falls der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt, vereinfacht sich dies zu
Operatoren, die mit
vertauschen, sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator Erhaltungsgrößen des Systems. Insbesondere ist dann die Energie eine Erhaltungsgröße.
Quantenmechanisches Teilchen im Potential
Aus der Hamiltonfunktion
für ein nichtrelativistisches Teilchen der Masse
das sich im Potential
bewegt, liest man bei kanonischer Quantisierung den Hamiltonoperator ab,
In der Ortsdarstellung wirkt der Impulsoperator
als Ableitung
und der Operator
multipliziert mit der Funktion
. Der Hamiltonoperator eines Punktteilchens der Masse m im Potential
wirkt demnach auf die Ortswellenfunktion des Teilchens durch
aus. Hierbei ist
der Laplace-Operator. Die Schrödingergleichung lautet somit
Eindimensionaler harmonischer Oszillator
- Hauptartikel: Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)
Analog erhält man für den quantenmechanischen, harmonischen Oszillator, der sich nur längs einer Linie bewegen kann,
Die Energien lassen sich algebraisch bestimmen. Man erhält
Es handelt sich dabei um dieselben Energien wie die eines Grundzustandes mit Energie E0, dem n-fach ein Quant der Energie
hinzugefügt ist.
Spin im Magnetfeld
Zum Spin
eines Silberatoms im Magnetfeld
gehört der Hamiltonoperator
Dabei ist γ das gyromagnetische Verhältnis des Silberatoms und
der Spinoperator. Da der Spin in Richtung des Magnetfeldes nur die Werte
oder
annehmen kann, sind die möglichen Energien
Im inhomogenen Magnetfeld des Stern-Gerlach-Versuchs spaltet daher ein Teilchenstrahl in zwei Teilstrahlen auf.
Geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld
Den Hamiltonoperator eines Teilchen mit Ladung q in einem äußeren elektromagnetischen Feld erhält man durch minimale Substitution
.
Hier bezeichnet q die Ladung,
das skalare Potential und
das Vektorpotential. Beim Ausmultiplizieren der Klammer ist zu beachten, dass die Operatoren
und
nur bei Coulomb-Eichung vertauschen. Der Operator
ist die Observable zu dem generalisierten Impuls
,
wobei hier
die Teilchengeschwindigkeit ist.
Siehe auch
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