Heisenbergsche Unschärferelation

Heisenberg und die Gleichung der Unschärferelation auf einer deutschen Briefmarke

Die Heisenbergsche Unschärferelation oder Unbestimmtheitsrelation ist die Aussage der Quantenphysik, dass zwei komplementäre Eigenschaften eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau messbar sind. Das bekannteste Beispiel für ein Paar solcher Eigenschaften sind Ort und Impuls. Die Unschärferelation ist nicht die Folge von Unzulänglichkeiten eines entsprechenden Messvorgangs, sondern prinzipieller Natur. Sie wurde 1927 von Werner Heisenberg im Rahmen der Quantenmechanik formuliert.

Aussagen

Unter dem Begriff des Unschärfeprinzips werden die folgenden drei Aussagen zusammengefasst, die zwar miteinander verwandt sind, jedoch physikalisch unterschiedliche Bedeutung haben.^[1] Sie sind hier beispielhaft für das Paar Ort und Impuls notiert.

1. Es ist nicht möglich, ein Quantenobjekt in einem Zustand zu präparieren, bei dem der Ort und der Impuls beliebig genau definiert sind. Diese Unschärfe lässt sich als unmittelbare Konsequenz der Wellennatur der Materie („Welle-Teilchen-Dualismus“) in der Quantenphysik interpretieren.
2. Es ist nicht möglich, den Ort und den Impuls eines Quantenobjektes gleichzeitig exakt zu messen.
3. Die Messung der Position eines Quantenobjektes ist zwangsläufig mit einer Störung seines Impulses verbunden, und umgekehrt.

Jedes dieser drei Unmöglichkeitstheoreme lässt sich quantitativ in Form so genannter Unschärfe-Relationen formulieren, die eine untere Grenze für die minimal erreichbare Unschärfe der Präparation bzw. Messung angeben.

Auch zwischen anderen Paaren physikalischer Größen können Unschärferelationen gelten. Die Voraussetzung dafür ist, dass der Kommutator der beiden den Größen zugeordneten quantenmechanischen Operatoren nicht null ist.

Folgende Analogie verdeutlicht die Unbestimmtheit: Nehmen wir an, dass wir ein zeitveränderliches Signal, zum Beispiel eine Schallwelle, haben und wir die genaue Frequenz dieses Signals zu einem bestimmten Zeitpunkt messen wollen. Das ist unmöglich, denn um die Frequenz einigermaßen exakt zu ermitteln, müssen wir das Signal über eine Zeitspanne, die eine gewisse Mindestgröße nicht unterschreiten darf, beobachten, und dadurch verlieren wir Zeitpräzision. Das heißt, ein Ton kann nicht innerhalb nur einer beliebig kurzen Zeitspanne da sein, wie etwa ein kurzer Impuls, und gleichzeitig eine exakte Frequenz besitzen, wie sie etwa ein ununterbrochener reiner Ton hat. Die Dauer und die Frequenz der Welle sind analog zum Ort und Impuls eines Teilchens zu betrachten.

Ungleichungen

Die Unschärferelation bezüglich Ort und Impuls ist der bekannteste Vertreter einer Gruppe von Unschärfebeziehungen, die ein grundlegendes Prinzip der modernen Physik darstellen. Gemäß dieser Beziehung wird jeweils ausgehend von einer Teilchengesamtheit die Unschärfe des Ortes x und des Impulses p durch deren statistische Streuung σ_x und σ_p gemessen. Die Unschärferelation besagt in diesem Fall^{[2] [3]}

$\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}\,, \quad\quad\quad\quad (1)$

wobei $\hbar = h/2\pi$, h das plancksche Wirkungsquantum und π die Kreiszahl ist. Bei dieser Relation bezieht sich die Messung der Streuungen σ_x und σ_p auf eine Gesamtheit von Teilchen, die jeweils im gleichen Ausgangszustand (ψ) sind. Im Rahmen des mathematischen Formalismus ergeben sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Orts- und Impulsmessungen und damit die Standardabweichungen aus den zugehörigen Wellenfunktionen. Die Relation (1) folgt dann aus dem Umstand, dass die Wellenfunktionen bezüglich Ort und Impuls über eine Fourier-Transformation miteinander verknüpft sind. Die Fourier-Transformierte eines lokal begrenzten Wellenpakets ist nun wiederum ein Wellenpaket, wobei das Produkt der Paketbreiten einer Beziehung gehorcht, die der obigen Ungleichung entspricht. Aufgrund ihrer mathematisch stringenten Herleitbarkeit im Rahmen der Quantenmechanik erlangte diese Ungleichung u. a. ihre Bedeutung in der Lehrbuchliteratur.

Die Unbestimmtheitsrelation von Heisenberg

Schematische Darstellung der Beugung am Spalt. Die Genauigkeit Δx der Ortsmessung entspricht der Breite des Spaltes.

Bei der von Heisenberg ursprünglich publizierten Relation wird der Begriff der Unschärfe von Ort und Impuls nicht durch die statistische Streuung dargestellt.^[2][4] Ein von Heisenberg und Bohr in diesem Zusammenhang häufig diskutiertes Gedankenexperiment ist die Bestimmung von Ort und Impuls von Teilchen mit Hilfe des Einfachspaltes: Der Impuls p des betrachteten Objektes wird dabei zunächst als bekannt vorausgesetzt (monochromatische Welle). Dann wird der Strahl möglicher Elektronenbahnen durch einen Schirm mit einem Spalt der Breite Δx ausgeblendet (siehe Abbildung rechts). Geht das Objekt durch den Spalt hindurch, so ist in diesem Moment sein Ort in Richtung parallel zum Schirm mit der Genauigkeit Δx des Spaltes festgelegt – es findet eine Reduktion der Wellenfunktion statt. Die Ausblendung des Strahls ist mit einer räumlichen Ablenkung des Objektes um den (zufälligen) Öffnungswinkel α verbunden (Beugung) und alle Punkte des Spalts sind nach dem huygensschen Prinzip Ausgangspunkte für Elementarwellen.

Nun werden die folgenden Voraussetzungen getroffen:

1. Der Ablenkungswinkel α ist eine Zufallsgröße, die bei jedem Teilchen einen anderen Wert annehmen kann.
2. Für die De-Broglie-Wellenlänge λ des Teilchens gilt:

   $\lambda = \frac{h}{p}$.

3. Damit das erste Interferenzminimum auf dem Schirm noch optisch erkennbar ist, muss der Gangunterschied etwa mindestens so groß sein wie die De-Broglie-Wellenlänge des Teilchens, d. h.

   $\Delta x\cdot\sin\alpha\gtrsim\lambda.$

4. Es werden nur Teilchen betrachtet, deren Ablenkungswinkel α einem Impuls entsprechen, der innerhalb des vorgegebenen Impulsintervalls Δp (keine Zufallsgröße) des ersten Beugungsminimums auf der Impulsskala liegt. Formal sind das genau diejenigen, welche der folgenden Bedingung genügen:

   $p \cdot\sin\alpha\le \Delta p.$

Die letzten beiden Relationen ergeben zusammen mit der Formel von de Broglie die folgende Restriktion für die gemäß Heisenberg betrachteten Streuwinkel:

$\frac{h}{p\Delta x}\lesssim\sin\alpha\le\frac{\Delta p}{p}.$

Werden nun ausschließlich die äußeren Terme in diesem Ausdruck betrachtet, so ergibt sich nach Multiplikation mit p·Δx die Relation von Heisenberg:^[4]

$\Delta x\Delta p\gtrsim h. \quad\quad\quad (2)$

Es sei hier angemerkt, dass in der ersten historischen Herleitung am Einzelspalt von Heisenberg noch nicht das „>“-Zeichen verwendet wurde sondern „$\scriptstyle\sim$“. Erst später, in seiner 1930 gehaltenen Vorlesung in Chicago^[2], wird das Ungleichheitszeichen von Heisenberg in diesem Zusammenhang ergänzt.

Ein wesentlicher Unterschied der beiden Ungleichungen (1) und (2) liegt insbesondere in dem jeweilig zugrunde gelegten Messprozess. Bei der „Streuungs-Relation“ (1) bezieht sich die Messung der Streuungen σ_x und σ_p auf unterschiedliche Stichproben von Teilchen, für die jeweils der gleiche Ausgangszustand der Wellenfunktion ψ vorausgesetzt wird. Daher ist es im Allgemeinen nicht möglich, in diesem Fall von simultanen Messungen zu sprechen. Der physikalische Inhalt der Heisenberg-Relation (2) kann daher nicht durch die Kennard-Relation (1) beschrieben werden.^[5]

Eine mathematisch streng beweisbare Ungleichung, welche einem simultanen Messprozess im Sinne von Heisenberg und Bohr entspricht, lautet wie folgt: Für Teilchen in einem endlichen Intervall Δx > 0 erfüllt die Standardabweichung für den Impuls die Ungleichung:

$\sigma_p\,\Delta x \, \ge\,\pi\hbar,\quad\quad\quad (3)$

wobei sich das Gleichheitszeichen für Cosinusfunktionen ergibt.^[6] Bei dem dabei zugrundeliegenden Messprozess werden die Impulsmessungen an genau den Teilchen ausgeführt, die im Intervall Δx sind. Es handelt sich daher um simultane Eigenschaften der Teilchen.

Neben diesen Ungleichungen für Ort und Impuls existiert auch eine Unschärferelation zwischen Energie und Zeit. Die Zeitunschärfe Δt ist dabei jedoch nicht als statistische Streuung definierbar, da die Zeit in der (Standard-) Quantenmechanik ein Parameter und kein Operator ist. In dem hier betrachteten Zusammenhang versteht man unter Δt beispielsweise die kurze Beobachtungsdauer (Messdauer), die bei einer Energiemessung an einem Quantenobjekt vorgegeben wird. In diesem Fall wird die mögliche Genauigkeit ΔE bei der Messung durch die Energie-Zeit-Unschärferelation begrenzt:

$\Delta E\Delta t \gtrsim h \quad\quad\quad$

Diese Relation gilt für einige typische Situationen (z. B. die Lebensdauer eines angeregten Zustands), sie bedeutet jedoch nicht, dass eine Energiemessung mit der Genauigkeit ΔE prinzipiell mindestens die Zeit Δt benötigt.^[7] Auch für diese Art der Ungleichung gilt, dass ihre spezielle Form von dem jeweils zugrunde gelegten Messmodell abhängig ist.^[8]

Messprozess und Interpretationen

Die den Ungleichungen (1) und (2) zugrundeliegenden Messprozesse repräsentieren zwei unterschiedliche Interpretationen der Quantenmechanik. Man unterscheidet entsprechend die Ensemble-Interpretation, in welcher der Teilchenzustand ψ als eine Teilchengesamtheit im rein statistischen Sinn interpretiert wird und daher eine Aussage über ein ganzes System macht, und andererseits die Kopenhagener Deutung, bei welcher der Teilchenzustand ψ ein einzelnes Teilchen vollständig beschreibt, wobei aber trotzdem die statistische Interpretation von ψ gegeben ist.

Ensemble-Interpretation

Ein „Ensemble“ ist die Gesamtheit von identisch präparierten Teilchen. Das Präparationsverfahren gewährleistet dabei, dass die Teilchen der Stichprobe vor jeder Beobachtung (Messung) jeweils im gleichen Teilchenzustand ψ vorliegen. Sie dürfen in dem Experiment nicht miteinander wechselwirken, d. h., sie sind als unabhängig voneinander zu betrachten.

Im Rahmen dieser Interpretation ist folgendes Experiment möglich: Es wird eine Stichprobe der Größe N aus der Teilchengesamtheit des Zustandes ψ betrachtet und in zwei gleich große Teile zerlegt. An einem Teil der Stichprobe wird eine Eigenschaft gemessen, etwa der Ort x, und an dem anderen Teil der Stichprobe eine andere Eigenschaft, etwa der Querimpuls p_x. Die so erhaltenen Messwerte einer Messreihe werden dann statistisch betrachtet. Man kann den Mittelwert und die Standardabweichung auf der Basis der Messwerte schätzen. Im Rahmen dieser Messanordnung ist es dann unmöglich, einen Teilchenzustand ψ zu finden, der die Ungleichung (1) widerlegt. Dies setzt voraus, dass die statistische Schätzung auf hinreichend großen Stichproben beruht.

Diese Betrachtungsweise ist wissenschaftlich anerkannt und gilt derzeit als „Minimaltheorie“, der die meisten Wissenschaftler zustimmen. Zudem gelingt eine Verbindung von Theorie und Experiment.

Es ist jedoch zu beachten, dass bei dem von Kennard zugrunde gelegten Messprozess bezüglich (1) nicht von simultanen Messungen an Teilchen gesprochen werden kann, da die Ortsmessungen und die Impulsmessungen in jeweils unterschiedlichen Teilchen der Gesamtheit durchgeführt werden müssen.

Einteilchen-Interpretation

Darstellung von möglichen Eintrittswahrscheinlichkeiten für Impulsmessungen der Genauigkeit Δp. Die Stufenfunktion repräsentiert die zulässigen Ereignisse nach Heisenberg.

Im Zusammenhang mit der Kopenhagener Deutung wurde in den Gedankenexperimenten von Heisenberg, Bohr und Einstein häufig die Heisenberg-Ungleichung (2) diskutiert. Für eine experimentelle Prüfung der Ungleichung im Rahmen von Streuexperimenten am Einfachspalt ist zunächst zu präzisieren, was genau gemessen werden soll.

Im Spaltexperiment werden nur Teilchen betrachtet, die innerhalb des Spaltes der Breite Δx vorhanden sind. Damit ist die Genauigkeit des Ortes für alle in Betracht kommenden Teilchen bekannt und muss nicht ermittelt werden. Das auf dem Schirm vorliegende Intensitätsmuster repräsentiert dann die Wahrscheinlichkeitsdichte der Impulsverteilung aller Teilchen, die innerhalb des Spaltes lokalisiert sind. Dort können beliebige Impulsintervalle Δp betrachtet werden.

Wird nun ein Intervall Δp derart gewählt, dass es der Ungleichung (2) widerspricht, so würden bereits wenige Teilchen genügen, um (2) zu falsifizieren. Dass eine solche Falsifikation möglich ist, wurde von Karl Popper 1934 in seinen erkenntnistheoretischen Abhandlungen zur Unbestimmtheitsrelation diskutiert.^[9] Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit dafür, nach dem Passieren des Spaltes Δx Impulse mit der Genauigkeit Δp>0 zu registrieren, formal durch

$P(\Delta p|\Delta x;\psi) = \int_{-\Delta p/2}^{\Delta p/2} |\tilde\psi(p)|^2 dp>0$

gegeben, wobei $\scriptstyle\tilde\psi(p)$ die Fourier-Transformierte des Teilchenzustandes $\scriptstyle\psi(x)$ nach dem Spaltdurchgang im Ortsraum ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist für alle Δp > 0 offensichtlich von null verschieden. Dies bedeutet jedoch keine Falsifikation der Quantenmechanik, sondern lediglich der Ungleichung (2), welche daher nicht mathematisch stringent im Rahmen der Quantentheorie bewiesen werden kann.

Popper fordert demgemäß, dass (2) nur wahrscheinlichkeitstheoretisch überprüft werden kann, ebd., S. 167. Einen formalen Ausdruck, welcher eine empirisch prüfbare Wahrscheinlichkeitsaussage zu (2) macht, wird von Popper in seiner Abhandlung nicht angegeben. Es ist jedoch möglich, eine Ungleichung für diese Wahrscheinlichkeiten herzuleiten. Formal ergibt sich dabei eine Wahrscheinlichkeitsrelation:^[10]

$P(\Delta p|\Delta x;\psi)\leq \operatorname{erf}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Delta x\Delta p}{h}\right), \quad\quad\quad\quad (4)$

wobei erf(·) die gewöhnliche Fehlerfunktion ist. Der Ausdruck P(Δp|Δx;ψ) bezeichnet die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit für eine erfolgreiche Impulsmessung mit der Genauigkeit Δp, wenn zuvor eine Präparation des Ortes mit der Genauigkeit Δx erfolgte (vgl. quantenmechanische Messung). Die Ungleichung gilt für jede Wellenfunktion ψ im Hilbertraum. Betrachtet man beispielsweise diejenigen Ereignisse aus (2), für die ΔxΔp = h gilt, dann können gemäß (4) nur höchstens 79 % mit einem Impuls innerhalb der Genauigkeit Δp registriert werden, denn $\operatorname{erf}(\sqrt{\pi}/2)\, \approx\, 0{,}79$ (vgl. Abbildung oben).

Eine empirische Prüfung von (4) ergibt sich wie folgt: Man betrachte eine Stichprobe von N Teilchen, die jeweils im gleichen Quantenzustand ψ sind. Für jedes der N Teilchen wird nach der Präparation des Ortes (z. B. durch einen Spalt) eine Impulsmessung vorgenommen. Die entsprechenden Genauigkeiten seien dabei Δx und Δp. Unter der Voraussetzung, dass N Teilchen den Spalt durchlaufen haben, wird die Anzahl n der erfolgreichen Impulsmessungen ermittelt. Für große Stichproben N darf der Schätzer n/N für die Wahrscheinlichkeit P(Δp|Δx;ψ) – nach dem Gesetz der großen Zahlen – die Schranke in Ungleichung (4) nie überschreiten.

Der Vorteil der Ungleichung (4) ist einerseits, dass sie eine Aussage über Wahrscheinlichkeiten macht und damit im Rahmen der Kopenhagener Deutung zu einer Klärung der heuristischen Ungleichung (2) beitragen kann. Andererseits lässt sich die Wahrscheinlichkeitsrelation auch im Rahmen der Ensemble-Interpretation deuten und durch geeignete Teilchenstrahlexperimente überprüfen.^[11]

Anmerkung

In Richard Feynmans Vorlesung über Quantenmechanik wird die folgende Situation kommentiert:^[12]

Wenn das Teilchen im Spaltexperiment von links in den Spalt kommt, dann war sein Vertikalimpuls null. Nachdem es durch den Spalt gegangen ist, ist sein Ort bekannt (mit einer beliebigen Genauigkeit Δx). Beide, Ort und Impuls, scheinen daher mit uneingeschränkter Genauigkeit bekannt zu sein.

In dieser Aussage wird deutlich, dass es durchaus möglich ist, nachdem ein Teilchen registriert wurde, feststellen zu können, wo es ist und was es für einen Impuls gehabt haben müsste, um dorthin zu gelangen. Das ist jedoch nicht der Sachverhalt, auf den sich die Ungleichung (2) bezieht: Sie bezieht sich vielmehr auf die Vorhersagbarkeit von Ereignissen, nicht auf Aussagen über die Vergangenheit.^[12] Durch die bedingte Wahrscheinlichkeit in Ungleichung (4) wird dieser Zusammenhang formal präzisiert.

Verallgemeinerung

Die zuerst von Kennard mathematisch formulierte Ungleichung (1) wurde 1929 von Robertson formal verallgemeinert.^[13] Mit dieser Verallgemeinerung lassen sich auch Unschärfebeziehungen zwischen weiteren physikalischen Größen angeben. Dazu gehören beispielsweise Ungleichungen bezüglich unterschiedlicher Drehimpulskomponenten, zwischen Energie und Impuls oder auch Ort und Energie. Im formalen Rahmen der Quantenmechanik kann für zwei Observablen A und B allgemein die folgende Ungleichung formuliert werden:^[13]

$\sigma_A \sigma_B \ge \frac{1}{2}\left|\langle\psi|[\hat{A},\hat{B}]|\psi\rangle\right|$.

Hierbei sind A und B die den Observablen zugehörigen linearen, hermiteschen Operatoren. Der Ausdruck [A,B] = AB-BA bezeichnet den Kommutator von A und B. Anders als bei der für Ort und Impuls bestehenden Relation (1) kann in der verallgemeinerten Relation von Robertson auch die rechte Seite der Ungleichung explizit von der Wellenfunktion abhängig sein. Das Produkt der Streuungen von A und B kann daher sogar den Wert null annehmen, und zwar nicht nur dann, wenn die Observablen A und B miteinander kommutieren, sondern für spezielle ψ selbst dann, wenn dies nicht der Fall ist. Für Ort und Impuls, und andere sog. „komplementäre“ Observablenpaare, ist der Kommutator aber jeweils proportional zum Einheitsoperator. Der Erwartungswert in der Relation von Robertson kann daher für komplementäre Observablen nie null werden. Andere in diesem Zusammenhang oft genannte Variable, die nicht miteinander vertauschen (z. B. zwei verschiedene Drehimpulskomponenten), sind hingegen nicht zueinander komplementär, weil ihr Vertauschungsprodukt keine Zahl, sondern ein Operator ist. Vertauschbare Observable sind hingegen in jedem Fall, d. h. für alle ψ, gleichzeitig streuungsfrei messbar, da ihr Kommutator verschwindet. Es handelt sich dann um kompatible oder verträgliche Observablen.

Die obige Ungleichung kann in wenigen Zeilen bewiesen werden:

Zunächst werden die Varianzen der Operatoren A und B mit Hilfe von zwei Zustandsfunktionen f und g dargestellt, d. h., es sei

$|f\rangle := (\hat A - \langle \hat A \rangle)|\psi\rangle$,

$|g\rangle := (\hat B - \langle \hat B \rangle)|\psi\rangle$.

Damit erhält man für die Varianzen der Operatoren die Darstellungen:

$\sigma_A^2 =\langle\psi |(\hat A-\langle\hat A \rangle)^2 |\psi\rangle = \langle \psi |(\hat A - \langle \hat A \rangle) (\hat A - \langle \hat A \rangle)|\psi\rangle = \langle f|f\rangle$

$\sigma_B^2 = \langle g|g\rangle.$

Unter Verwendung der schwarzschen Ungleichung ergibt sich daraus:

$\sigma_A^2 \sigma_B^2 = \langle f|f\rangle \langle g|g\rangle \ge |\langle f|g\rangle |^2$

Um diese Ungleichung in die gebräuchliche Form zu bringen, wird die rechte Seite weiter abgeschätzt und berechnet. Dazu verwendet man, dass das Betragsquadrat einer beliebigen komplexen Zahl z immer größer oder gleich dem Quadrat ihres Imaginärteils ist, d. h.

$|z|^2 \ge \mathrm{Im}(z)^2 = \left[\frac{z-z^*}{2 i}\right ]^2$,

wobei Im(z) den Imaginärteil von z darstellt. Mit der Substitution $z:= \langle f|g\rangle$ ergibt sich daraus für das Produkt der Varianzen die Abschätzung

$\sigma_A^2 \sigma_B^2 \ge \left[\frac{1}{2 i}(\langle f|g\rangle - \langle g|f\rangle)\right ]^2.$

Für die darin auftretenden Skalarprodukte $\langle f|g\rangle$ und $\langle g|f\rangle$ erhält man durch weiteres Ausrechnen

$\langle f|g\rangle =\langle\hat A \hat B \rangle-\langle\hat A\rangle \langle \hat B\rangle\qquad\text{bzw.}\qquad \langle g|f\rangle = \langle \hat B \hat A \rangle - \langle \hat A\rangle \langle \hat B\rangle$.

Damit ergibt sich für die Differenz in der Ungleichung

$\langle f|g\rangle - \langle g|f\rangle = \langle \hat A \hat B \rangle - \langle \hat B \hat A \rangle = \langle\psi|[\hat A , \hat B]|\psi\rangle$,

also gerade der Erwartungswert des Kommutators. Das führt schließlich zur Ungleichung

$\sigma_A^2 \sigma_B^2 \ge \left[\frac{1}{2 i}\langle\psi|[\hat A , \hat B]|\psi\rangle\right ]^2,$

und ein Wurzelziehen liefert die oben angegebene Ungleichung.

Beispiele

1. Wählt man im vorhergehenden Kapitel für die Operatoren A = x sowie B = p und verwendet, dass für den Kommutator von Ort und Impuls $[x,p]=i\hbar$ gilt, so ergibt die Ungleichung von Robertson die Relation von Kennard. Die rechte Seite der Relation ist dabei unabhängig von der Wellenfunktion des Teilchens, da der Kommutator in diesem Fall eine Konstante ist.

2. Eine Unschärferelation für die Messung von kinetischer Energie T = p² / 2m und Ort x ergibt sich aus dem Kommutator $[T,x]=i\hbar p/m$, d.h.

$\sigma_T\sigma_x\geq \frac{\hbar}{2m}|\langle\hat{p}\rangle|$.

In diesem Fall ist die untere Schranke nicht konstant, sondern vom Mittelwert des Impulses abhängig und damit von der Wellenfunktion des Teilchens.

3. Bei einer Messung von Energie und Impuls eines Teilchens in einem vom Ort abhängigen Potential V(x) ist der Kommutator der Gesamtenergie H = T + V und p von der Ableitung des Potentials (Kraft) abhängig, d. h. $[H,p]=-i\hbar V'$. Die entsprechende Unschärferelation für Energie und Impuls ist damit

$\sigma_H\sigma_p\geq \frac{\hbar}{2}\, |\langle V(\hat{x})'\rangle|$.

Auch in diesem Beispiel ist die rechte Seite der Ungleichung im Allgemeinen keine Konstante.

4. Im Fall der Messung von Energie und Zeit lässt sich die Verallgemeinerung von Robertson nicht unmittelbar anwenden, da die Zeit in der Standard-Quantentheorie nicht als Operator definiert ist. Mit Hilfe des ehrenfestschen Theorems und einer alternativen Definition der Zeitunschärfe lässt sich allerdings eine analoge Ungleichung beweisen, siehe Energie-Zeit-Unschärferelation.

5. Für die Zeitabhängigkeit des Ortsoperators im Heisenberg-Bild gilt die Darstellung

$\hat{x}(t)=\hat{x}(0)+\frac{\hat{p}}{m}\,t\, .$

Aufgrund der Impulsabhängigkeit in dieser Darstellung ergibt sich, dass der Kommutator von zwei Ortsoperatoren zu den unterschiedlichen Zeitpunkten 0 und t nicht verschwindet, d. h. $[x(0),x(t)]=i\hbar t/m$. Daraus folgt für das Produkt der Streuungen der beiden Ortsmessungen im zeitlichen Abstand t die Unschärferelation

$\sigma_{x(0)}\sigma_{x(t)}\geq \frac{\hbar}{2}\, \frac{t}{m}\, .$

Je mehr Zeit zwischen den beiden Streuungsmessungen vergeht, desto größer wird die minimal erreichbare Unschärfe. Man beachte, dass bei diesem Beispiel für zwei nicht gleichzeitig durchgeführte Messungen eine Unschärferelation vorliegt. Für zwei instantan durchgeführte Messungen des Ortes verschwindet der Kommutator und die untere Schranke der Ungleichung wird gleich 0.

6. Die minimale Breite einer Tunnelbarriere kann über die Unschärferelation abgeschätzt werden. Betrachtet man ein Elektron mit der Masse m_e, welches eine Potentialdifferenz U durchtunnelt, so ergibt sich für die Ortsunschärfe und somit die minimale Breite der Tunnelbarriere

$\Delta x \geq \frac{\hbar}{\sqrt{8 m_e e U}}$.

Bei einer Potentialdifferenz von 100 mV, wie sie etwa bei der Rastertunnelmikroskopie vorkommt, ergibt sich aufgrund dieser Beziehung eine kleinste Tunnelbarriere von etwa 0,3 nm, was sich gut mit experimentellen Beobachtungen deckt.

Siehe auch

• Interpretationen der Quantenmechanik
• Kopenhagener Deutung
• Quantenmechanische Messung
• Vakuumfluktuation
• Zustand (Quantenmechanik)

Literatur

• Werner Heisenberg: Gesammelte Werke. Herausgegeben von Walter Blum, Hans-Peter Dürr und Helmut Rechenberg. Piper, München 1984–1992; Springer, Heidelberg/Berlin/New York 1994.
• ders.: Der Teil und das Ganze Piper, München 1969.
• ders.: Quantentheorie und Philosophie. Reclam, Stuttgart 1979.

Weblinks

• Jan Hilgevoord und Jos Uffink: Eintrag, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und Parameter 3 und nicht Parameter 2
• Die Heisenbergsche Unschärferelation – Verständliche Herleitung für Leute mit Vorkenntnissen von Hendrik van Hees, 1998
• Was ist die Unschärferelation? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri
• Welche Bedeutung hat die Unschärferelation? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri
• Grenzen unserer Erkenntnis, Darstellung von Olga Teider in Einführung in die Quantentheorie, Website des Instituts für Theoretische Chemie der Universität Ulm, 2003

Einzelnachweise

1. ↑ Paul Busch, Teiko Heinonen, Pekka Lahti: Heisenberg's uncertainty principle. In: Physics Reports. 452, Nr. 6, 2007, S. 155–176, arXiv:quant-ph/0609185v3, doi:10.1016/j.physrep.2007.05.006.
2. ↑ ^{a b c} Werner Heisenberg: Physikalische Prinzipien der Quantentheorie. S. Hirzel Verlag, Leipzig 1930.
3. ↑ E. H. Kennard: Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen. In: Zeitschrift für Physik. 44, Nr. 4, 1927, S. 326–352, doi:10.1007/BF01391200.
4. ↑ ^{a b} W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. In: Zeitschrift für Physik. 43, Nr. 3, 1927, S. 172–198, doi:10.1007/BF01397280 (Originalarbeit als HTML).
5. ↑ J. B. M. Uffink, J. Hilgevoord: Uncertainty principle and uncertainty relations. In: Foundations of Physics. 15, Nr. 9, 1985, S. 925–944, doi:10.1007/BF00739034.
6. ↑ T. Schürmann, I. Hoffmann: A closer look at the uncertainty relation of position and momentum. In: Foundations of Physics. 39, Nr. 8, 2009, S. 958–963, arXiv:0811.2582, doi:10.1007/s10701-009-9310-0.
7. ↑ Für eine Diskussion siehe Asher Peres: Quantum Theory, Concepts and Methods. Kluwer, 1995, ISBN 0-7923-3632-1, S. 413 ff.
8. ↑ P. Busch: The Time-Energy Uncertainty Relation. In: J. G. Muga, R. Sala Mayato, I. L. Egusquiza: Time in Quantum Mechanics. Springer-Verlag, Berlin 2002, S. 69–98. (2. Ausgabe von 2007) arXiv:quant-ph/0105049.
9. ↑ Karl Popper: Logik der Forschung. 10. Auflage, Tübingen 1994/1934.
10. ↑ T. Schürmann: A Single Particle Uncertainty Relation. In: Acta Physica Polonica B. 39, Nr. 3, 2008, S. 587–597 (PDF).
11. ↑ W. Görlich, I. Hoffmann, T. Schürmann: Single-slit diffraction and the Heisenberg principle for position and momentum. In: arXiv. Quantum Physics. 2008, arXiv:0812.4775.
12. ↑ ^{a b} R. P. Feynman: Vorlesungen über Physik, Band III: Quantenmechanik. Oldenbourg Verlag München, Wien 1999, S. 36, Kap. 2.2 .
13. ↑ ^{a b} H. P. Robertson: The Uncertainty Principle. In: Physical Review. 34, Nr. 1, 1929, S. 163–164, doi:10.1103/PhysRev.34.163.