Eulersche Differentialgleichung

Die eulersche Differentialgleichung (nach Leonhard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten der speziellen Form

$\sum_{k=0}^N a_k \, (cx+d)^k\;y^{(k)}(x) = b(x)\ ,\ cx + d > 0$

zu gegebenen $N \in \mathbb{N},\ a_0, \ldots, a_N,c,d \in \mathbb{R},\ c \neq 0$ und Inhomogenität b. Kennt man ein Fundamentalsystem der homogenen Lösung, so kann man mit dem Verfahren der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Daher braucht nur $b \equiv 0$ betrachtet zu werden.

Die eulersche Differentialgleichung wird mittels der Transformation $z(t) := y\left(\tfrac{e^t-d}{c}\right)$ in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten überführt.

Motivation der Transformation

Sei y eine genügend glatte Funktion und

$z(x) := y\left(\frac{e^x-d}{c}\right)$, also $\ y(x) = z(\ln(cx+d))$.

Dann gilt

$\begin{array}{lll} y'(x)&=&\frac{c}{cx+d}z'(\ln(cx+d))\ ,\\ y''(x)&=&\frac{c^2}{(cx+d)^2}z''(\ln(cx+d)) - \frac{c^2}{(cx+d)^2}z'(\ln(cx+d))\ ,\\\end{array}$

also

$\begin{array}{lll} (cx+d)y'(x)&=&c\cdot z'(\ln(cx+d))\ ,\\ (cx+d)^2y''(x)&=&c^2\cdot [z''-z'](\ln(cx+d))\ .\\\end{array}$

Insofern würde sich die eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformieren. Es stellen sich nun folgende Fragen:

• Überführt diese Transformation auch die Terme höherer Ordnung (cx + d)^ky^(k)(x) in welche mit konstanten Koeffizienten?
• Wie kann man die Koeffizienten auf der rechten Seite einfacher ausrechnen, als jedes Mal die Transformation genügend oft abzuleiten?

Diese Fragen werden durch den folgenden Transformationssatz geklärt:

Der Transformationssatz

Sei z Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

$\sum_{k=0}^{n}a_kc^k\left(\left[\prod_{j=0}^{k-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(x) = 0\ .$

Dann ist

$\ y(x) := z(\ln(cx+d))$

eine Lösung der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung

$\sum_{k=0}^N a_k(cx+d)^ky^{(k)}(x) = 0\ ,\ cx+d > 0\ .$

Erläuterung zur Notation

Hierbei werden zunächst die Differentialoperatoren miteinander (vergleichbar dem Ausmultiplizieren) verknüpft, bevor sie auf eine Funktion angewandt werden, beispielsweise:

$\left[\prod_{j=0}^{-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z = z\ ,$

$\left[\prod_{j=0}^0\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z = \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-0\right)z = z'\ ,$

$\left[\prod_{j=0}^1\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z = \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-0\right)\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-1\right)z = \left(\frac{{\rm d^2}}{{\rm d}x^2}-\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\right)z = z'' - z'\ ,$

$\left[\prod_{j=0}^2\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z = \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-0\right)\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-1\right)\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-2\right)z = \left(\frac{{\rm d^3}}{{\rm d}x^3}-3\frac{{\rm d^2}}{{\rm d}x^2}+2\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\right)z = z''' - 3z'' + 2z'\ .$

Beweis

Zu zeigen ist lediglich $c^k\left(\left[\prod_{j=0}^{k-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d)) = (cx+d)^ky^{(k)}(x)$ für alle $k \in \mathbb{N}_0$. Dies geschieht mittels vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang k = 0 ist trivial. Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Identität für $k_0 \in \mathbb{N}_0$ kann diese Identität differenziert werden. Es ergibt sich

$(cx+d)^{k_0}y^{(k_0+1)}(x) + ck_0(cx+d)^{k_0-1}y^{(k_0)}(x) = \frac{c^{k_0+1}}{cx+d}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\ .$

Anwenden der Induktionsvoraussetzung impliziert

$\begin{array}{lll} (cx+d)^{k_0+1}y^{(k_0+1)}(x)&=&c^{k_0+1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d)) - ck_0(cx+d)^{k_0}y^{(k_0)}(x)\\ &=&c^{k_0+1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\\ &&\quad - c^{k_0+1}k_0\left(\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\\ &=&c^{k_0+1}\left(\left[\prod_{j=0}^{k_0}\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\ .\\ \end{array}$

$\Box$

Folgerung: Konstruktion eines Fundamentalsystems

Das charakteristische Polynom für die Differentialgleichung von z lautet

$\chi(\lambda) = \sum_{k=0}^{n}a_kc^k\prod_{j=0}^{k-1}(\lambda-j)\ .$

Bezeichnen nun $\lambda_1, \ldots, \lambda_M$ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und R_j die Vielfachheit von λ_j, so bildet

$\{z_{j,k}(x) = e^{\lambda_jz}z^k\ |\ j = 1, \ldots, M\ ,\ k = 0, \ldots, R_j-1\}$

ein Fundamentalsystem der Gleichung für z. Also ist

$\{y_{j,k}(x) = (cx+d)^{\lambda_j}[\ln(cx+d)]^k\ |\ j = 1, \ldots, M\ ,\ k = 0, \ldots, R_j-1\}$

ein Fundamentalsystem der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung.

Beispiel

Gegeben sei die eulersche Differentialgleichung

$a_2x^2y''(x)+a_1xy'(x)+a_0y(x)=0\ ,\ a_2 \neq 0\ ,\ x > 0\ .$

Zu lösen ist nach obigem Satz zunächst die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

$a_2(z''(x)-z'(x)) + a_1z'(x) + a_0z(x) = 0\ ,$

also

$a_2z''(x) + (a_1-a_2)z'(x) + a_0z(x) = 0\ .$

Das zu dieser Differentialgleichung gehörige charakteristische Polynom lautet

$\chi(\lambda)=\ a_2\lambda^2+(a_1-a_2)\lambda+a_0$

und besitzt die Nullstellen

$\lambda_{1,2}=\frac{a_2-a_1}{2a_2}\pm \sqrt{\frac{(a_2-a_1)^2}{4a_{2}^2}-\frac{a_0}{a_2}}\ .$

Fall 1: $\lambda_1 \ne \lambda_2$, beide reell.

Dann ist $\{e^{\lambda_1 z}, e^{\lambda_2 z}\}$ ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass $\{x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}\}$ ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 2: $\ \lambda_1 = \lambda_2$.

Dann ist $\lambda := \frac{a_2-a_1}{2a_2}$ eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Daher ist $\ \{e^{\lambda z}, ze^{\lambda z}\}$ ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass $\ \{x^\lambda, x^\lambda\ln x\}$ ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 3: $\ \lambda_1, \lambda_2$ beide nicht reell.

Dann sind $\ \lambda_1, \lambda_2$ komplex konjugiert. Also ist $\ \{e^{\lambda_1 z}, e^{\lambda_2 z}\}$ ein (komplexes) Fundamentalsystem. Sei $\ \lambda_1 = \mu + i\nu$, $\mu, \nu \in \mathbb{R}$. Dann ist $\ \{e^{\mu z}\sin(\nu z), e^{\mu z}\cos(\nu z)\}$ ein reelles Fundamentalsystem der transformierten linearen Differentialgleichung. Rücktransformation liefert $\ \{x^\mu\sin(\nu \ln x), x^\mu\cos(\nu \ln x)\}$ als Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung.

$\Box$

Literatur

• Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, New York 1955, ISBN 978-0-07-011542-2.