Eulersche Last

Die eulersche Last P_Euler wird im Anhang über Elastische Kurven der 1744 veröffentlichten Arbeit (E065) angegeben. Leonhard Euler berechnet neun unterschiedliche Klassen von Biegelinien gerader und nur an den Enden belasteter Stäbe aus ideal linear elastischem Material mit kleinen oder großen Verformungen bzw. Verkrümmungen. Zur ersten Klasse gehören Stäbe, die durch die Wirkung einer Last P infinitesimal sinusförmig verbogen bzw. verkrümmt werden oder die gerade bleiben. Für sie kann die Vereinfachung getroffen werden, dass die Stablänge s auch im verformten Zustand der Länge der Verbindungsgeraden der Stabenden gleich ist.

Zur Biegelinie des Stabes

$w(x) = w \cdot \sin (\pi \cdot x / s)$

gehört die Verkrümmung des Stabes

$1/r(x) = w(x)'' = - \pi^2 / s^2 \cdot w \cdot \sin (\pi \cdot x / s).$

Aus der Verkrümmung des Stabes entsteht mit der Biegesteifigkeit EI das widerstehende Biegemoment

$M_R(x) = - EI / r(x) = - EI \cdot w(x)''.$

Die Last P verursacht im Stab das einwirkende Biegemoment

$M_E(x) = P \cdot w(x).$

Im Gleichgewichtszustand des Stabes, M_E(x) = M_R(x), gilt die Beziehung

$P \cdot w \cdot \sin (\pi \cdot x / s) = EI \cdot \pi^2 / s^2 \cdot w \cdot \sin (\pi \cdot x / s)$.

Sie ist mit w = 0 für beliebig große Lasten P erfüllt und mit w > 0 für

$P = EI \cdot \pi^2 / s^2 = P_{Euler}.$

Nach der Übersetzung von Truesdell und mit den dort verwendeten Bezeichnungen EI = B und $s = 2\,f$ hat Euler diesen Sachverhalt in § 25 gefunden und folgendermaßen beschrieben: … the force required to produce this infinitely small curvature of the band is a finite quantity, P = ¼ pi² • B / f². That is, if the ends A und B are tied together by a thread AB, then this thread is pulled by the force ¼ pi² • B / f².

Diese Erkenntnis wendet Euler später in § 37 auch zur Angabe der Tragfähigkeit einer mit P belasteten Stütze der Länge l = s an. … If the weight P is not too great, then the most to be feared is a bending of the column. Und weiter: … we have seen that the force needed to bend the column ever so little is pi² • B / s². Therefore unless the weight P to be supported satisfies P > pi² • B / s² there is no fear of bending ….

Die eulersche Last P_Euler wird heute als Knicklast der beidseitig gelenkig gelagerten Stütze (Euler-Fall 2) verstanden, bei der das Stabilitätsversagen der Stütze eintritt. Angemerkt sei, dass die neun Klassen von Biegelinien nicht mit den so genannten eulerschen Knickfällen verwechselt werden dürfen.

Siehe auch

• Knicken
• Balkentheorie

Literatur

• Leonhard Euler: Von den elastischen Kurven. 1744
  • Übersetzung ins Deutsche in: H. Linsenbarth: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven. Leipzig, 1910, Ostwald's Klassiker.
• Clifford Truesdell: The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies, 1638-1788. Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia Vol. X et XI Seriei secundae. Füssli, Birkhäuser, Zürich, Basel, 1960, ISBN 978-3-7643-1441-5.