- Faktormodul
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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul M und einem Untermodul
ist der Quotientenmodul M / N das im wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus
mit Kern N.
Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorräume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie.
Definition
Es sei A ein Ring. Zu einem A-(Links-)Modul M und einem Untermodul
ist der Quotientenmodul M / N die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von M nach der Äquivalenzrelation
mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung
ein Homomorphismus ist:
Eigenschaften
- Isomorphiesätze: Für zwei Untermoduln M,N eines Moduls Q gilt
-
- Für Untermoduln
gilt
- Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel M und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle M; einem Monomorphismus
entspricht der Quotientenmodul M / i(N), einem Epimorphismus
der Untermodul
.
- Ist ein Modul endlich erzeugt, oder hat er eine endliche Länge, so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
- Ist B eine (unitäre, assoziative) A-Algebra, so ist
-
- dabei steht U für das Bild von
in
.
- Ist I ein (zweiseitiges) Ideal in A, so ist der Faktormodul A / I dasselbe wie der Faktorring A / I.
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