Finsterniszyklen

Canon der Sonnenfinsternisse ^[1]
(Auszug einer Wiedergabe der Berechnungen Theodor Oppolzers)
Farblich hervorgehoben sind Reihen des Semesterzyklus, die sich manchmal teilweise überlappen und jeweils aus 8, 9 oder 10 Ereignissen bestehen.

Ein Finsterniszyklus besteht aus mehreren regelmäßigen Reihen von Sonnen- oder Mondfinsternissen. Jede dieser Reihen ist zeitlich begrenzt, wird aber immer wieder durch eine neu entstehende ersetzt. Die Finsternisse jeder Reihe sind mit bestimmter gleicher konstanter Zeitspanne aufeinander bezogen. Diese Zeitspanne heißt Finsternisperiode des betreffenden Zyklus-Typs.

Einer Finsternis folgt in der Regel nach sechs synodischen Mond-Monaten die nächste. Finsternisse mit dieser Periode bilden den Semesterzyklus. Bevor eine seiner Reihen endet, findet meistens bereits nach fünf Mond-Monaten eine zusätzliche Finsternis statt, mit der eine neue Reihe beginnt.

Alle vorkommenden und in einem Canon der Finsternisse^[1][2][3] aufgelisteten Ereignisse gehören in den Semesterzyklus. In nebenstehendem Auszug eines solchen Canons sind die eine Semester-Reihe bildenden Sonnenfinsternisse farblich markiert.

Die anderen Finsterniszyklen sind länger; sie stellen als Auslesezyklen je ausgewählte Reihen dar aus der Abfolge aller Finsternisse und beziehen Ereignisse aufeinander, die von mal zu mal nur wenig verschieden voneinander sind.

Besonderheit bei Finsterniszyklen

In einem “reinen” zeitlichen Zyklus wiederholen sich die Ereignisse über einen unbeschränkten Zeitraum. Ein Beispiel ist der Zyklus der Wochentage: Jeder der sieben Wochentage wiederholt sich mit einer Periode von sieben Tagen ohne Begrenzung in der Zukunft.

Ein Finsterniszyklus besteht aus Ereignisreihen, die in zeitlicher Länge und Zahl von Ereignissen begrenzt sind. Solche Reihen gibt es aber unbegrenzt viele. Sie folgen sich, beziehungsweise bestehen mit mehr (Auslese-Finsterniszyklen) oder weniger (Semesterzyklus) Überlappung gleichzeitig. Die zeitliche Versetzung ist ein von der Finsternisperiode abweichendes Intervall.

Leider wird sowohl der übergeordnete Finsterniszyklus, dessen Kennzeichen die innerhalb seiner Einzelreihen wirksame Finsternisperiode ist, als auch jede dieser Einzelreihen als der bestimmte Finsterniszyklus bezeichnet. Verwechslungen sind folglich nicht ausgeschlossen. Beim bekannten Saroszyklus versucht man dem zu begegnen, indem jede seiner Einzelreihen eine eigene Nummer enthält. Die Sonnenfinsternis vom 11. August 1999 gehörte zum Beispiel in die Reihe mit der Nummer 145, kurz: zum Saroszyklus 145.

Bildung von Auslesezyklen

Das Prinzip der Bildung eines Auslesezyklus ist für Sonnen- und Mondfinsternissen das gleiche. In den folgenden Abschnitten werden zunächst Zyklen aus Sonnenfinsternissen und anschließend Besonderheiten von Mondfinsternis-Zyklen behandelt.

Die Periode eines Auslese-Zyklus ist ein ganzzahliges Vielfaches von synodischen Monaten. Mit zunehmender Finsternisperiode enthält jede Reihe auch eine höhere Anzahl von Finsternisereignissen, die alle mit gleicher Periode ohne Unterbrechung aufeinander bezogen sind. Bei wachsender Periode wird die jeweilige Differenz zu einem ganzzahligen Vielfachen von halben drakonitischen Monaten immer geringer, das heißt die Veränderung der Knotendistanz zwischen den Einzelereignissen wird kleiner, und die Ereignisse werden daher einander ähnlicher. Je größer die Finsternisperiode gewählt wurde, umso mehr solcher langen Reihen mit gleicher Periode verlaufen zeitlich parallel nebeneinander.

Mit der Finsternisperiode wächst die Zahl der übersprungenen Finsternisse. Auslese-Bedingung ist, dass die Periode neben einer ganzen Zahl von synodischen Monaten möglichst auch eine ganze Zahl halber drakonitischer Monate enthält. Da Finsternisse bei Nähe des Mondes zu jedem der beiden Knoten stattfinden können, gilt die Bedingung auch für eine ganze Zahl drakonitischen Monate plus einen halben. Bei solchen Zyklen finden die Finsternisse nacheinander wechselweise in Nähe zum aufsteigenden oder zum absteigendem Knoten statt. Geeignete Zahlenpaare aus synodischen und drakonitischen Monaten sind mit Kettenbruch-Rechnungen zu finden.

Ein Auslese-Zyklus kann mit jeder Finsternis beginnen. Deshalb existieren von einem Zyklus mit bestimmter Periode gleichzeitig so viele Finsternis-Reihen zusätzlich, wie Finsternisse in der betreffenden Auslese-Reihe nicht mitgezählt wurden. Beim Saros gibt es etwa 38 Einzelzyklen zur selben Zeit, jeweils mit einer anderen Nummer versehen. Prinzipiell kann jede Finsternis als Bestandteil eines beliebigen Zyklus-Typs erfasst werden, und so mit unterschiedlich bestimmter Periodenlänge auf andere Finsternisse bezogen werden. Auslese-Zyklen können beliebig groß sein. Es gibt keine theoretische Grenze.^[4]

Die beiden folgenden Abbildungen zeigen beispielsweise am Saroszyklus im Vergleich zum Semesterzyklus, das Ergebnis einer solchen Auslese.

Semesterzyklus-Reihe aus neun Sonnenfinsternissen (-4 bis +4); Knotendistanz 4,023°
Die vorherige Reihe endete mit Finsternis v_e, die nachfolgende beginnt mit n_a.

Saroszyklus-Reihe aus 71 Sonnenfinsternissen (-35 bis +35; gezeichnet ist nur jede zweite Finsternis); Knotendistanz 0,477°

Saroszyklus

Die in einer Reihe enthaltene Zahl von Finsternissen steigt proportional mit der Periode, die Dauer einer Reihe wächst aber überproportional und übersteigt bald ein Menschenleben deutlich. Von den größeren Zyklen hat dennoch der Saroszyklus praktische Bedeutung (Periode 18,03 Jahre, Reihe mit durchschnittlich 71 über etwa 1270 Jahre verteilten Finsternissen), obwohl ein Beobachter nur fünf bis sechs Finsternisse dieses Zyklus erleben kann. Ein Astronom zur Zeit der Antike konnte wenigstens drei davon beobachten und wissenschaftlich auswerten. Drei Saros-Perioden sind die Periode des Exeligmos (Triple Saros). Wesentlich für die Bedeutung des Saroszyklus ist, dass bei ihm die Ähnlichkeit der aufeinanderfolgenden Finsternisse nicht allein durch die relativ kleine Knotendistanz-Änderung bestimmt wird, sondern dass die Sarosperiode auch fast ein ganzzahliges Vielfaches eines anomalistischen Monats ist, der Mond also dann jeweils in ähnlicher Entfernung zur Erde steht.

Weitere Auslese-Zyklen

Bei den mit (*) markierten Zyklen finden die Finsternisse nacheinander wechselweise bei Nähe zum auf- beziehungsweise absteigendem Knoten statt.

Zwischen Semester*) und Saros sind die Zyklen Hepton*) (Periode 41 synodische Monate), Octon (47), Anonymos*) (88) und Tritos*) (135) anzuordnen.^[5]

Nach dem Saros folgt der sehr große Inexzyklus*).^[6] Seine Periode besteht aus 358 synodischen Monaten (28,95 Jahre). Eine Inex-Reihe enthält im Durchschnitt 809 über 23400 Jahre verteilte Sonnenfinsternisse. Die Knotenditanz beträgt nur noch 0,041°.

Bereits im Altertum bekannte Zyklen mit großer Periode sind beispielsweise ein Zyklus der Maya (405 synodischen Monate gleich 3 Tritosperioden gleich etwa 33 Jahre) und einer der Griechen (939 synodische Monate gleich knapp 76 Jahre).

Annahmen und Genauigkeit

Die angegebenen Zusammenhänge beruhen auf der Annahme je einer kreisförmigen anstatt einer elliptischen Umlaufbahn der Erde und des Mondes und mittlerer Werte für deren Umlaufzeiten. Damit sind die angegebenen Werte für Periode, Zahl der Finsternisse und Dauer des Zyklus ebenfalls Mittelwerte, die für die detaillierte Berechnung einer Finsternis nicht genügen, für die Abstraktion der Periodizität in Zyklen aber ausreichend sind. Die Hilfsgrößen Knoten-Distanz (ekliptikale Winkeldistanz zwischen Neu- oder Vollmond und Knoten) und Finsternis-Limit (Knotendistanz, bis zu der eine Finsternis entstehen kann) sind ebenfalls Mittelwerte.

Den theoretischen Mittelwerten stehen statistische Durchschnittswerte gegenüber. Letztere schwanken je nach den in der Statistik ausgewerteten Finsternissen, was bei der Verwendung von aus der Literatur entnommenen Werten zu beachten ist. Da jede neue Finsternis nie einer älteren gleicht, ist das Arbeiten mit Mittelwerten ohnehin nicht frei eines Restes an Willkür.

Einige Berechnungen

Vorgegebene Größen

Während eines synodischen Monats (29,53059 Tage) bewegt sich die Erde +29,1067° auf ihrer Bahn (360° in 365,2422 Tagen), die Knotenlinie dreht sich in dieser Zeit -1,5638° in der Ekliptik (360° in 18,613 Jahren):

• (29,53059 d ÷ 365,2422 d) · 360° = 29,1067°,
• (29,53059 d ÷ (18,613 · 365,2422 d)) · 360° = 1,5638°.

Knoten-Distanz-Änderung beim Semester-Zyklus

Nach 6 synodischen Monaten ist die Erde auf ihrer Bahn +174,6402° voran gekommen, die Knotenlinie hat sich -9,3828° gedreht. Der Neu- oder Vollmond ist +4,0230° (Knoten-Distanz-Änderung, ekliptikaler Winkel) über den Gegen-Knoten hinaus gekommen:

• +174,6402° - (-9,3828°) - 180° = +4,0230°. ^[7]

Finsternis-Zahl und Zyklus-Dauer für den Semester (Sonnenfinsternisse)

Mit dem Finsternis-Limit ±16,6° (durchschnittlicher Wert, siehe Eintrag in dieser Abbildung) ist die Finsternis-Zahl im Mittel 9,25, die Zyklus-Dauer im Mittel 4,5 Jahre:

• (2·16,6° ÷ 4,023°) + 1 ≈ 9,25
  (+1, weil Zahl der Intervall-Grenzen = Zahl der Intervalle + 1)
• 9,25 · 6 · 29,53059 d ≈ 4,5 Jahre.

Geographischer Aspekt von Sonnenfinsternissen

Die ersten und die letzten Finsternisse einer Reihe sind partiell und finden in einem der beiden polaren Gebiete der Erde statt. Dazwischen sind sie zentral (total oder ringförmig) und verlagern sich schrittweise über alle geographischen Breiten, bis sie im entgegengesetzten polaren Gebiet aufhören. Finden die Finsternisse im Wechsel beim auf- beziehungsweise absteigendem Knoten (*) statt, so besteht die Reihe aus zwei ineinander verschachtelten Unter-Reihen, von denen die eine von Süd nach Nord, die andere von Nord nach Süd verläuft.

Bei negativem Wert für die Knotendistanz-Änderung läuft die Finsternisreihe in westlicher Richtung in Bezug auf die Knoten. Auf der Erde ist ihr Verlauf zwischen den polaren Gebieten umgekehrt zu einer Reihe mit positiver Knotendistanz-Änderung.

Totale und ringförmig-totale Sonnenfinsternisse

Die Finsternisse in der Mitte einer Reihe sind total oder ringförmig. Sie sind mehrheitlich entweder total oder ringförmig, wenn die Periode auch annähernd ein ganzes Vielfaches des anomalistischen Monats (im Mittel 27,55455 d) ist. Diese Bedingung ist gut erfüllt beim Hepton und beim Saros:

• Hepton: 41 · 29,53059 d = 1210,7542 d ≈ 43,94 anomalistische Monate,
• Saros: 223 · 29,53059 d = 6585,3216 d ≈ 238,99 anomalistische Monate.

Dieser Eigenschaft verdankt der Saros seine Güte und Bekanntheit, es wiederholen sich sehr ähnliche Sonnenfinsternisse.

Zyklus-Daten in Zusammenfassung

Zyklus	syn.M.e	=Jahre	drak.Monate	anom.M.e	Kn.Dist.Änd.	So-Finst.e	Jahre, total
Semester	6	0,485	6,5112(*)		+4,023°	9,25	4,5
Hepton	41	3,31	44,4930(*)	43,94	-2,509°	14,2	47,2
Octon	47	3,80	51,0042		+1,514°	22,9	87,1
Anonymos	88	7,11	95,4972(*)		-0,9772°	35	248,8
Tritos	135	10,92	146,5015(*)		+0,5181°	65,1	710
Saros	223	18,03	241,9987	238,99	-0,4772°	70,6	1.272
Inex	358	28,95	388,5001(*)		+0,0411°	809	23.410

Vielfache von Finsternis-Perioden

Die den Maya bekannte Finsternisperiode von etwa 33 Jahren ist das Dreifache der Tritosperiode.

Eine ganzzahlige Verlängerung der Saros-Periode führt zum Exeligmos oder Triple Saros mit einer Perioden-Dauer von ungefähr 54 Jahren (3·18,03 Jahre). Seine Bedeutung liegt darin, dass dann eine Finsternis fast zur gleichen Tageszeit stattfindet wie eine andere 54 Jahren zuvor, denn 669 synodische Monate entsprechen nahezu einer ganzen Zahl an Tagen (669·29,53059 d = 19'755,965 d ≈ 19'756 d). Die Wiederholung solcher Finsternisse ist damit vom gleichen Ort aus beobachtbar, befindet sich das Maximum der Finsternis doch ungefähr auf demselben Längengrad. Diese Tatsache war bereits im antiken Griechenland bekannt. Der für die Bildung von lunisolaren Kalendern bedeutsame Mondzirkel zeigt eine Periode von 235 synodischen Monaten, was der fünffachen Periode des Octon mit 47 synodischen Monate nahe kommt. Wegen dieses Zufalls wird der Mondzirkel oft auch als Finsternis-Zyklus angesehen. Im Vergleich zum Saros mit ähnlicher Periodenlänge ist er aber ein unbedeutend kurzer Zyklus mit nur vier oder fünf Finsternissen. Bei Verlängerung der Octon-Periode (die durchschnittlich 22,9 Finsternisse enthält) auf das Fünffache wird nämlich nur jede fünfte Finsternis gezählt. Der Mondzirkel umfasst damit nur ungefähr halb so viele Ereignisse wie der ansonsten kürzeste Finsterniszyklus, der Semester.

Die Vervielfachung der Periode verringert die Anzahl der Finsternisse in einer Zyklus-Reihe um den gleichen Faktor.

Mondfinsternis-Zyklen

Canon der Mondfinsternisse,^[1] Auszug.
Markiert sind Reihen des Semesterzyklus aus 5 bis 6 Kernschatten-Ereignissen. Die Reihen überlappen sich nicht. Der Abstand zwischen ihnen beträgt immer 5 synodische -Monate.

Halbschatten-Mondfinsternisse sind mit bloßem Auge kaum feststellbar. Im Canon der Mondfinsternisse von Oppolzer werden sie deshalb nicht aufgeführt (siehe nebenstehende Abbildung). ^[1] In der Astronomie werden sie immer mitgezählt, weshalb sie in neueren Aufstellungen ebenfalls enthalten sind.^[3]

Das Finsternis-Limit unter Einschluss der Halbschatten-Mondfinsternisse hat etwa den gleichen Wert wie das für Sonnenfinsternisse unter Einschluss der partiellen Sonnenfinsternisse: ± 16,7° gegenüber ± 16,6°. Die Zyklen aus Mond- und Sonnenfinsternissen sind etwa gleich lang und enthalten etwa gleich viele Finsternisse.

Das Finsternis-Limit ist kleiner, wenn die Halbschatten-Mondfinsternisse nicht mitgezählt werden: ± 10,6°. Eine Mondfinsternis-Zyklus-Reihe aus leicht erkennbaren Finsternissen enthält somit nur etwa zwei Drittel so viel Finsternisse. Sie ist im gleichen Maße kürzer als eine, bei der die kaum erkennbaren Finsternisse mit gezählt werden. Beim Semesterzyklus sind es 5 bis 6 (nebenstehende Abbildung) anstatt 8 bis 10 Finsternisse (oben stehende Abbildung) pro Reihe.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b c d} Theodor Oppolzer: Canon der Finsternisse, Denkschriften der Kaiserlichen Akademie der Wisenschaften mathematisch naturwissenschaftlicher Classe, L II.Bd., Wien 1887
2. ↑ Hermann Mucke, Jean Meeus: Canon der Sonnenfinsternisse, Astronomisches Büro Wien, 1992
3. ↑ ^{a b} Hermann Mucke, Jean Meeus: Canon der Mondfinsternisse, Astronomisches Büro Wien, 1992
4. ↑ Robert Harry van Gent: A Catalogue of Eclipse Cycles
5. ↑ Die meisten dieser Namen hat van den Bergh geprägt: Periodicity and variation of solar and lunar eclipses, Tjeenk Willink, Haarlem 1955.
6. ↑ Van den Bergh (gestorben 1966) erarbeitete diesen Zyklus, was als sein Hauptwerk (Periodicity and variation of solar and lunar eclipses, Tjeenk Willink, Haarlem 1955) zu betrachten ist. Er wählte auch dessen Namen.
7. ↑ -180°, weil Wechsel zum Gegen-Knoten

Literatur

• George van den Bergh: Periodicity and Variation of Solar and Lunar Eclipses, Tjeenk Willink, Haarlem 1955
• Jean Meeus, Hermann Mucke: Canon of Lunar Eclipses, Astronomisches Büro Wien, 1979
• Theodor Oppolzer: Canon der Finsternisse, Denkschriften der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften mathematisch naturwissenschaftlicher Classe, L II.Bd., Wien 1887
• J.B.Zirker: Total Eclipses of the Sun, Princeton University Press, 1995

Weblinks

• Robert Harry van Gent: A Catalogue of Eclipse Cycles. In: Webpages on the History of Astronomy. A Catalogue of Eclipse Cycles. 8. September 2003, abgerufen am 4. Oktober 2008 (engl., Zusammenstellung zahlreicher Zyklen in den Serien der Finsternisse). 
• Weiterführende Informationen über Finsternisse