- Fraunhofer-Näherung
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Das Beugungsintegral ermöglicht es, in der Optik die Beugung von Licht durch eine beliebig geformte Blende zu berechnen. Speziell wird dabei, ausgehend von einer einfallenden Elementarwelle und der Blendenfunktion, die die Lichtdurchlässigkeit der Blende beschreibt, die an einem Punkt des Beobachtungsschirms auftreffende Intensität des Lichtes berechnet.
Zwei Grenzfälle des Beugungsintegrals sind die Näherungen für das Fernfeld (Fraunhofer-Beugung) und für das Nahfeld (Fresnel-Beugung). Siehe dazu die entsprechenden Teilabschnitte.
Die obige Skizze zeigt die experimentelle Anordnung, bestehend aus einer Lichtquelle Q, einer Blende S, an der das einfallende Licht gebeugt wird, und einem Beobachtungsschirm, auf dem die auftreffende Lichtintensität an P untersucht wird. Die Form und die Eigenschaften der Blende bestimmen dabei, wie die Intensitätsverteilung auf dem Beobachtungsschirm aussieht.
Hat die Blende z. B. die Form eines Doppelspalts, so ergibt sich als Intensitätsverteilung das bekannte Interferenzmuster. Weitere Anwendungen des Beugungsintegrals sind z. B. Beugungsscheibchen und Klotoide.
Inhaltsverzeichnis
Das Kirchhoffsche Beugungsintegral
Das Kirchhoffsche Beugungsintegral, auch Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral genannt, lautet
Dabei bezeichnen aQ die Amplitude der Quelle, k0 = 2π / λ den Wellenvektor, λ entsprechend die Wellenlänge des Lichtes und schließlich fS die Blendenfunktion. und θ sind die Winkel zwischen den mit d1 bzw. d gekennzeichneten Geraden und einem Lot auf die Blendenebene im Schnittpunkt der Geraden.
Die Intensität am Punkt P auf dem Beobachtungsschirm ergibt sich als Betragsquadrat von ψPDer Term wird Neigungsfaktor genannt und kann in den meisten Anwendungen näherungsweise gleich 1 gesetzt werden.
Fraunhofer- und Fresnel-Beugung
Für die Lichtwege d und d1 gelten die geometrischen Zusammenhänge (siehe Skizze)
und
.
Unter den Annahmen und können die Wurzeln durch eine Taylor-Entwicklung angenähert werden.
Diese Näherung entspricht gerade dem Fall, dass , d. h. für diese Betrachtungen kann der Neigungsfaktor näherungsweise gleich 1 gesetzt werden. Damit lautet das Beugungsintegral
Ferner kann wegen der Näherung im Nenner gesetzt werden. Der Exponent enthält die für die Interferenz wesentliche Phaseninformation und darf nicht auf diese Weise vereinfacht werden. Daraus folgt
Die Näherung für die Ausdrücke d und d1, explizit ausgeführt bis zur 2. Ordnung, ergibt
sowie
Ausgedrückt durch die Koordinaten und ergibt das
und
Fraunhofer-Näherung
Die Fraunhofer-Näherung entspricht einer Fernfeld-Näherung, das heißt, dass sowohl die Blendenöffnung als klein als auch die Entfernung des Beobachtungsschirms L als groß angenommen werden. Als Beugungsintegral ergibt sich dabei im Wesentlichen gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion. Deshalb spricht man im Rahmen der Fraunhofer-Beugung auch von der Fourier-Optik.
Entsprechend diesen Annahmen werden nur Terme berücksichtigt, die linear in x und y sind, das heißt
In diesem Fall vereinfacht sich das Beugungsintegral zu
Definiert man einen neuen Wellenvektor , so ergibt sich für das Integral
Dies ist gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion !
Fresnel-Näherung
Die Fresnel-Näherung entspricht einer Nahfeld-Näherung. Hier werden auch quadratische Terme im Exponenten berücksichtigt. Das Beugungsintegral hat dann nicht mehr die einfache Form einer Fourier-Transformierten und ist im Allgemeinen nur numerisch lösbar.
Unter Berücksichtigung quadratischer Terme in x und y ergibt sich
In diesem Fall lautet das Beugungsintegral
Einführung von L' mit und ergibt dann das Beugungsintegral in Nahfeld-Näherung
Herleitung
Aus der Quelle Q bei tritt die Kugelwelle ψQ. aQ ist die Amplitude der Quelle. Ihre Intensität nimmt linear mit der Entfernung ab (). Wellenvektor k mal Abstand gibt die Phasenverschiebung der Welle am Ort , Kreisfrequenz ω mal Zeit t die Phasenverschiebung zur Zeit t. Die Welle ist beschrieben durch die Phase am Ort zur Zeit t:
Am Punkt S bei trifft die Welle im Abstand d1 auf die Blende. Es sei ψ1 die Intensität der Welle am Punkt S.
Nach dem Huygensschen Prinzip ist der Punkt S Ausgangspunkt einer Elementarwelle, der Sekundärwelle ψS.
Die Amplitude von ψS ist proportional zur Quellen-Amplitude aQ und zur Blendenfunktion fS. Die Blendenfunktion gibt die Durchlässigkeit der Blende an. Im einfachsten Fall ist fS = 1, wenn die Blende geöffnet ist, und fS = 0, wenn die Blende geschlossen ist. dS ist das infinitesimale Flächenelement der Blendenöffnung am Punkt S.
Die Sekundärwelle ψS erzeugt im Punkt P bei auf dem Schirm die Wellenintensität dψP(t). Sie ist infinitesimal, da nur der Beitrag von dS und nicht aller anderen Punkte auf der Blende betrachtet wird.
Die Zeitabhängigkeit kann vernachlässigt werden, da sie später beim Rechnen mit Intensitäten ohnehin durch das Betragsquadrat verschwindet.
Durch Einsetzen erhält man:Von jedem Punkt auf der Blende geht eine Sekundärwelle aus. Die Intensität ψP im Beobachtunspunkt P wird durch die Überlagerung aller Einzelbeiträge erzeugt:
Diese Gleichung erinnert bereits stark an das oben gegebene Beugungsintegral. Mit dem Proportionalitätsfaktor ergibt sich (Neigungswinkel vernachlässigt):
Siehe auch
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