Galoisverbindung

Die Galoisverbindung ist nach Évariste Galois benannt. Man versteht darunter den folgenden Sachverhalt:

Definition: Eine Galoisverbindung zwischen zwei partiell geordneten Mengen $S,~T$ ist ein Paar (σ,τ) von Abbildungen $\sigma : S \to T ,~ \tau : T \to S$, falls σ und τ antiton sind und ihre Kompositionen στ und τσ extensiv sind. Das bedeutet, es müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt sein:

1. $\forall s_1 , s_2 \in S : s_1 \leq s_2 \Rightarrow \sigma(s_2) \leq \sigma(s_1)$
2. $\forall t_1 , t_2 \in T : t_1 \leq t_2 \Rightarrow \tau(t_2) \leq \tau(t_1)$
3. $\forall s \in S : s \leq \tau(\sigma(s))$
4. $\forall t \in T : t \leq \sigma(\tau(t))$

Eigenschaften

Eine Galoisverbindung (σ,τ) zwischen S und T besitzt die folgenden Eigenschaften:

• Symmetrie: (τ,σ) ist eine Galoisverbindung zwischen T und S.
• τστ = τ, per Symmetrie ebenso στσ = σ.
• τσ ist ein Hüllenoperator auf S, und damit ist στ ein Hüllenoperator auf T .

Anwendung

Oft sind S und T dabei Potenzmengen, etwa $S=\mathcal{P}(A)$ und $T=\mathcal{P}(B)$. Diese sind durch Inklusion halbgeordnet. Unter einer Galoisverbindung zwischen den Mengen A und B versteht man dann eine Galoisverbindung zwischen S und T. Solche können mit Hilfe von Relationen gewonnen werden: Sei $R \subseteq A \times B$ eine Relation zwischen A und B. Die Abbildungen

$\sigma(X) := \{ y \in B ~|~ \forall x \in X: (x,y) \in R \}$,

$\tau(Y) := \{ x \in A ~|~ \forall y \in Y: (x,y) \in R \}$

stellen dann eine Galoisverbindung zwischen S und T her.

Beispiele

• Zwischen einem Körper L (mit Unterkörper K) und der Galoisgruppe von G = Gal(L / K) besteht die folgende Relation R:

$(\phi, x) \in R \Leftrightarrow \phi x = x.$

Daraus kann eine Galoisverbindung zwischen L und G definiert werden. Diese wird im Hauptsatz der Galoistheorie untersucht. Dieses Beispiel erklärt die Bezeichnung Galoisverbindung.

• Betrachten wir einen Vektorraum V und einen zweiten Vektorraum F bestehend aus linearen Funktionalen von V, d. h. einen Unterraum des Dualraumes V ^* . Wir definieren die Relation R auf $V \times F$ durch

$(v,f) \in R :\Leftrightarrow f(v)=0 .$

Diese Relation definiert eine Galois-Verbindung zwischen V und F, aber auch zwischen deren Unterräumen. Man schreibt dann $\perp$ anstatt σ sowie $\top$ anstatt τ, und es gilt

$U^\perp = \{f \in V^* ~|~ U \subseteq Kern(f)\},$

$U^\top = \bigcap\limits_{f \in U} Kern(f).$

• In der Algebraischen Geometrie besteht eine Galois-Verbindung $(\mathcal{I},\mathcal{V})$ z. B. zwischen den affinen algebraischen Mengen in kⁿ und den Idealen im Polynomring $k[X_1,X_2, \dots X_n]$, wobei k einen algebraisch abgeschlossenen Körper bezeichnet. Dabei ordnet $\mathcal{I}$ jeder algebraischen Menge das Ideal aller Polynome zu, die auf dieser Menge verschwinden und $\mathcal{V}$ ordnet jedem Ideal diejenige algebraische Menge zu, die gemeinsame Nullstellenmenge aller Polynome in diesen Ideal ist.

$\mathcal{I}(A) := \left\{ f \in k[X_1,X_2, \dots X_n] \,~|~\, f(A) = 0 \right\}$

$\mathcal{V}(I) := \left\{ x \in k^n \,~|~\, f(x) = 0 \; \forall \, f \in I \right\}$

• In der Universellen Algebra, genauer in der Gleichungstheorie, existiert eine Galoisverbindung (M,G_X) zwischen den Gleichungssystemen und den Klassen von Algebren. Dabei seien Algebren und Terme von einem festen Typ. Die Galoisverbindung wird als die Galoisverbindung der Gleichungstheorie bezeichnet und weicht von der ursprünglichen Definition dahingehend ab, dass nicht bloß auf Mengen, sondern auf Klassen operiert wird. Es sei $\Sigma \subseteq T(X) \times T(X)$ ein Gleichungssystem über der Variablenmenge X und $\mathcal{K}$ eine Klasse von Algebren:

$M(\Sigma) := \left\{ A ~|~ A \models s \approx t \; \forall \, (s, t) \in \Sigma \right\}$, die Klasse aller Modelle von Σ

$G_X(\mathcal{K}) := \left\{ (s,t) \in T(X) \times T(X) ~|~ A \models s \approx t \; \forall \, A \in \mathcal{K} \right\}$, die Menge aller in allen Algebren von $\mathcal{K}$ gültigen Gleichungen über X