Gleichverteilung modulo 1

Die Theorie der Gleichverteilung modulo 1 beschäftigt sich mit dem Verteilungsverhalten von Folgen reeller Zahlen im Intervall [0,1]. Eine Folge heißt gleichverteilt modulo 1, wenn die relative Anzahl an Folgengliedern in einem Intervall gegen die Länge dieses Intervalls konvergiert.

Definition

Sei $x_1, x_2, \dots$ eine Folge reeller Zahlen. Zu Zahlen a,b mit $0 \leq a < b \leq 1$ bezeichne A([a,b),N) die Anzahl jener Folgenglieder mit Index kleiner oder gleich N, deren Bruchteil im Intervall [a,b) liegt. In mathematischer Schreibweise:

$A([a,b),N) := \# \left\{ 1 \leq n \leq N:~\{x_n\} \in [a,b) \right\}$.

Unter dem Bruchteil {x} einer Zahl x versteht man dabei die Zahl selbst minus die nächstkleinere ganze Zahl (Beispielsweise ist der Bruchteil {1,4142} = 1,4142 − 1 = 0,4142, und der Bruchteil { − 0,7} = − 0,7 − ( − 1) = 0,3). Der Bruchteil einer Zahl liegt immer im Intervall [0,1).

Die Folge $x_1, x_2, \dots$ heißt nun gleichverteilt modulo 1, wenn für jedes Intervall $[a,b) \subset [0,1)$ die relative Anzahl der Folgenglieder in diesem Intervall gegen die Länge des Intervalls strebt. In mathematischer Schreibweise: $x_1, x_2, \dots$ heißt gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn

$\lim_{N \to \infty} \frac{A([a,b),N)}{N} = b-a$    für alle Zahlen a,b mit $0 \leq a < b \leq 1$ gilt.

Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass die Folge $x_1, x_2, \dots$ im Intervall [0,1) gleichmäßig verteilt ist (daher auch die Bezeichnung "gleichverteilt modulo 1").

Eigenschaften

Ein wichtiges Kriterium, um zu überprüfen, ob eine Folge $x_1, x_2, \dots$ gleichverteilt modulo 1 ist oder nicht, ist das Weylsche Kriterium, erstmals bewiesen von Hermann Weyl im Jahr 1916. Eine Folge $x_1, x_2, \dots$ ist gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn

$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 \pi i h x_n} = 0$     für alle $h \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$ gilt.

Der Beweis basiert darauf, dass die in der Definition der Gleichverteilung modulo 1 auftretenden Indikatorfunktionen durch stetige Funktionen, und diese laut dem Approximationssatz von Weierstraß durch trigonometrische Polynome beliebig genau approximiert werden können.

Beispiele

Folgende Folgen sind gleichverteilt modulo 1:

• $(n \alpha)_{n \geq 1}$    genau dann, wenn α irrational ist.

• $(n^\sigma \log^\tau n)_{n \geq 1}$    für $0 < \sigma < 1, ~\tau \in \mathbb{R}$

• $(p(n))_{n \geq 1}$    wobei p(x) ein nichtkonstantes Polynom bezeichnet, das mindestens einen irrationalen Koeffizienten besitzt.

• $(2^n \alpha)_{ \geq 1}$   genau dann, wenn α eine normale Zahl zur Basis 2 ist.

Da die Folge $(n \alpha)_{n \geq 1}$ für irrationales α gleichverteilt modulo 1 ist, müssen in jedem Intervall [a,b) laut Definition asymptotisch etwa N(b − a) Elemente der Folge liegen. Insbesondere muss daher jedes Intervall unendlich viele Elemente der Folge enthalten: die Folge nα ist daher dicht im Intervall [0,1). Das ist der sogenannte Approximationssatz von Kronecker, wodurch ein Zusammenhang zwischen Gleichverteilung modulo 1 und diophantischer Approximation (siehe Dirichletscher Approximationssatz) angedeutet wird.

Literatur

• Edmund Hlawka: Theorie der Gleichverteilung. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1979. ISBN 3-411-01565-9
• Lauwerens Kuipers und Harald Niederreiter: Uniform distribution of sequences. Dover Publications, 2002. ISBN 0-486-45019-8