Normale Zahlen

Als normale Zahl wird in der Mathematik eine reelle Zahl bezeichnet, unter deren Nachkommaziffern für jedes $k \geq 1$ alle möglichen k-stelligen Ziffernblöcke mit gleichen asymptotischen relativen Häufigkeiten auftreten.

Definition

Sei $b \geq 2$ eine ganze Zahl und x eine beliebige reelle Zahl. Nun werde die Zahl x zur Basis b dargestellt (vgl. Zahlensystem). Zu jedem k-stelligen Ziffernblock B_k aus Ziffern zur Basis b bezeichne N(B_k,n) jene Anzahl, mit welcher der Ziffernblock B_k unter den ersten n Nachkommastellen von x auftritt.

Die Zahl x heißt „normal“ zur Basis b genau dann, wenn

$\lim_{n\to\infty} \frac{N(B_k,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}$

für alle $k \geq 1$ und alle k-stelligen Ziffernblöcke B_k gilt. Die Zahl x heißt „absolut normal“, wenn sie zu jeder Basis $b \geq 2$ normal ist.

Es lässt sich zeigen, dass eine Zahl x genau dann normal zur Basis b ist, wenn die Folge

$(b^n x)_{n \geq 1} = b x, b^2 x, b^3 x, \dots$

gleichverteilt modulo 1 ist.

Anzahl normaler Zahlen

Der Begriff „normale Zahl“ wurde 1909 von Émile Borel eingeführt. Er bewies auch gleich mit Hilfe des Lemmas von Borel-Cantelli, dass fast alle (im Lebesgue-Sinn) reellen Zahlen normal bzw. sogar absolut normal sind.

Die Menge der nicht-normalen Zahlen ist allerdings überabzählbar, wie sich leicht anhand einer dem Cantor'schen Diskontinuum entsprechenden Konstruktion zeigen lässt.

Konstruktion normaler Zahlen

Waclaw Sierpinski lieferte im Jahr 1917 die erste Konstruktion einer normalen Zahl. Verónica Becher and Santiago Figueira gaben 2002 einen Algorithmus zur Berechnung der von Sierpinski konstruierten Zahl an. Gregory Chaitins Zahl Ω hingegen ist ein Beispiel einer nicht-berechenbaren normalen Zahl.

David Gawen Champernowne gab im Jahr 1933 die erste explizite Konstruktion einer normalen Zahl an. Die Zahl

0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ...,

gebildet durch "Aneinanderreihen" der natürlichen Zahlen in Basis 10, ist normal zur Basis 10 (aber nicht normal bezüglich einiger anderer Basen, wie später gezeigt werden konnte). Diese Zahl wird heute als "Champernowne-Zahl" bezeichnet.

Die sogenannte "Copeland-Erdős-Zahl" (nach Arthur Herbert Copeland und Paul Erdős)

0.2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 ...,

gebildet durch analoges Aneinanderreihen aller Primzahlen, ist ebenfalls normal zur Basis 10.

Wolfgang Schmidt bewies 1960, dass genau dann, wenn log r / log s eine rationale Zahl ist, jede in der Basis r normale Zahl auch in der Basis s normal ist.

Nicht normale Zahlen

Eine rationale Zahl kann zu keiner Basis normal sein, da ihre Darstellung stets periodisch wird. Es gibt aber auch Konstruktionen irrationaler Zahlen, die zu keiner Basis normal sind (man nennt solche Zahlen „absolut abnormal“).

Ist π normal?

Es ist sehr schwer, die Frage nach der Normalität einer Zahl zu beantworten, die nicht eigens zu diesem Zweck konstruiert wurde. Es ist beispielsweise nicht bekannt, ob $\sqrt{2}$, die Kreiszahl π, die Eulersche Konstante e oder der natürliche Logarithmus der Zahl 2 normal sind oder nicht.

Von den Mathematikern David H. Bailey und Richard E. Crandall wurde im Jahr 2001 die Vermutung aufgestellt, dass jede irrationale algebraische Zahl normal ist.

Literaturangaben

• Ivan Niven: Irrational Numbers. Carus Math. Monographs, John Wiley and Sons Inc., 1956.
• Lauwerens Kuipers, Harald Niederreiter: Uniform distribution of sequences. Wiley-Interscience Publ., 1974.
• David H. Bailey, Richard E. Crandall: On the Random Character of Fundamental Constant Expansions, in: Experimental Mathematics 10 (2001), S. 175-190 (www.nersc.gov/~dhbailey/dhbpapers/baicran.pdf)
• Émile Borel: Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, in: Rend. Circ. Mat. Palermo 27 (1909), S. 247-271
• David G. Champernowne: The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten, in: Journal of the London Mathematical Society, 8 (1933), S. 254-260
• Waclaw Sierpinski: Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre, in: Bull. Soc. Math. France, 45 (1917), S. 125-144
• Verónica Becher, Santiago Figueira: An example of a computable absolutely normal number, in: Theoretical Computer Science, 270 (2002), S. 947-958 (www-2.dc.uba.ar/profesores/becher/becherTCS2002.pdf)