Gnomonisch

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Konstruktion einer gnomonischen Azimutalprojektion in normaler Lage, projizierte Elemente sind mit einem Strich bezeichnet

Polare gnomonische Projektion

Eine gnomonische Projektion ist eine Zentralprojektion, bei der das Projektionszentrum im Mittelpunkt des abzubildenden Körpers liegt. Die Projektion wird in der Kartographie mit Projektionszentrum im Erdmittelpunkt für Kartennetzentwürfe und in der Kristallographie mit Projektionszentrum im Mittelpunkt des Kristalls verwendet. Je nach Geometrie der Abbildungsfläche wird die Abbildung zu allen oder zu einzelnen Rändern hin stark verzerrt. Für topografische Karten ist die gnomonische Projektion deshalb nicht geeignet. Dennoch von praktischem Nutzen sind die gnomonischen Azimutalprojektionen, bei denen die Projektionsfläche eine Ebene ist. Gnomonische Azimutalprojektionen sind geradentreu. Alle Geraden auf der Erdoberfläche, d.h. alle Großkreise und damit alle Orthodromen, werden wieder als Geraden abgebildet. Will man von einem Punkt zu einem anderen navigieren, so kann man daher in einer Karte mit gnomonischer Azimutalprojektion die Wegstrecke durch Verbinden der Punkte mit einer geraden Linie ermitteln. Deshalb finden diese Karten zusammen mit winkeltreuen Karten in der Navigation zur See und in der Luft sowie in der Funknavigation Anwendung. Die Kristallographie nutzt die Tatsache, dass Pole tautozonaler Flächen in gnomonischer Azimutalprojektion auf Geraden liegen.

Die gnomonische Azimutalprojektion erlaubt die Abbildung des am Projektionszentrum beginnenden offenen Halbraumes, in dem die Abbildungsebene liegt. Ein in der Begrenzung des Halbraumes liegender Großkreis wird ins Unendliche projiziert. Aufgrund der mit steigender Entfernung vom Mittelpunkt der Projektion stark zunehmenden Verzerrungen beschränkt man die Projektion meist auf einen Winkelbereich von höchstens 60° um die Mittelachse.

Gnomonische Projektionen in der Kartographie

Ist die Projektionsebene einer gnomonischen Azimutalprojektion wie in den Abbildungen oben in normaler Lage, d.h. sie berührt die Erde im Pol, so werden die Breitenkreise als konzentrische Kreise um den Pol und die Meridiane als radiale Geraden abgebildet. Der Kartennetzentwurf lässt sich mit Hilfe von Zirkel und Lineal ausführen. Die Abbildungsgleichungen in dieser Lage lauten für die Polarkoordinaten der Karte, Azimut α und Radius m, mit geographischer Länge λ und Breitenkomplement δ (90° − geographische Breite)

α = λ,

m = rtanδ,

wobei r ein Maßstabsfaktor ist.

Transversale gnomonische Azimutalprojektion

Schiefe gnomonische Azimutalprojektion (zentriert auf Japan)

Bei der transversalen gnomonischen Azimutalprojektion, bei der der Berührungspunkt auf dem Äquator liegt, werden die Meridiane als parallele Geraden, die Breitenkreise als Hyperbeln abgebildet. Der Äquator ist eine Gerade, die die Meridiane senkrecht schneidet.

Die schiefe gnomonische Azimutalprojektion, bei der die Karte einen beliebigen Punkt der Erdoberfläche berührt, bildet die Meridiane ebenfalls als Geradenbündel ab, die Breitenkreise werden zu Kegelschnitten.

Veranschaulichung

Wenn man einen Globus von innen beleuchtet (mit nahezu punktförmiger Lichtquelle im Zentrum des Globus), so dass die Globusoberfläche an eine ebene Wand projiziert wird, so entspricht dieses Abbild an der Wand der gnomonischen Azimutalprojektion.

Historisches

Der Name leitet sich von Gnomon (γνόμον), dem griechischen Wort für einen als astronomisches Instrument verwendeten Schattenstab, ab.

Mit der Spitze des Gnomons als schattenwerfendes Projektionszentrum wurde zum Beispiel bereits in der Antike der Stand der Sonne in einer Sonnenuhr abgebildet und zur Anzeige der Tageszeit benutzt. Eine Konstruktionsvorschrift für eine einen Gnomon enthaltende Sonnenuhr ist als Das Analemma des Vitruv überliefert.

Weblinks

• Institut für diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien: gnomonische Azimutalprojektion der Erde – interaktiv
• Institut für diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien: gnomonische Kegelprojektion der Erde – interaktiv
• Böhm Wanderkarten: Gnomonische Azimutalprojektion – u. a. in verschiedenen Lagen