Großkreis

Großkreis (rot) und Kleinkreis (blau)

Verschiedene Großkreise (durchgezogene Linien). Neigung der 2 schwarzen Großkreise gegen den Äquator (blau) ca. 55° und 60°)

Großkreiskarte für die Schweiz

Ein Großkreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei („gleichgroße“) Hälften. Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Großkreise. Ein Sonderfall von Großkreisen stellen Meridiane dar, welche halbe Großkreise sind, die sich vom Nord- zum Südpol erstrecken.

Im geografischen Koordinatensystem der Erde sind der Äquator (blau) sowie jedes Paar von sich „gegenüberliegenden“ Längengraden besonders gelagerte Großkreise (Längengrade = Meridiane, hier gelb), wie z. B. Nullmeridian (0°) und 180°-Meridian. Hingegen sind die Breitenkreise (gestrichelte Linien) mit Ausnahme des Äquators keine Großkreise, sondern kleiner als der maximale Kugelumfang. Man nennt sie deshalb Neben- oder Kleinkreise.

Auf Großkreisen der Erde entspricht eine Bogenminute einer Seemeile, abgekürzt sm (engl. nautical mile, nm oder NM). Sie wird (also als „Längenminute“ bzw. als „Breitenminute am Äquator“) mit 1.852 Metern errechenbar bei einem angenommenen Erdumfang von 40.000 km. Der mittlere Erdradius beträgt 6.371 km.

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Kugeloberfläche – die sogenannte Orthodrome – ist immer Teil eines Großkreises (der sogenannte Hauptbogen). Deshalb führen Schifffahrts- und vor allem Flugrouten meist entlang von Großkreisen. Das Befahren der Erdkugel auf Orthodromen wird Großkreissegeln genannt; die „Großkreiskurse“ erreichen etwas größere Breiten als der jeweilige Start- und Zielpunkt (z. B. München–Peking über Sibirien).

Auf dem Erdellipsoid und anderen Flächen wird die Orthodrome Geodätische Linie genannt. Sie ist eine Kurve höherer Ordnung (Abweichung vom Großkreis einer Kugel einige Promille) und entspricht dem Verlauf eines straff gespannten, reibungsfreien Fadens.

Darstellung auf Karten

Da viele Landkarten (z. B. bei der Mercatorkarte) so dargestellt werden, dass die Breitengrade als gerade, waagrechte Linien erscheinen, wirken die Flugrouten trotz ihrer Kürze gekrümmt und verlaufen weiter polwärts (siehe auch Loxodrome). Um das Zeichnen zu vereinfachen, gibt es spezielle Großkreiskarten (siehe gnomonische Projektion), auf denen alle Großkreise als Gerade erscheinen, die Umgebung allerdings etwas verzerrt ist.

Auf Seekarten ist am rechten und linken Rand die geografische Breite aufgetragen, d. h. der jeweilige Ausschnitt des betreffenden Längen-Großkreises. Hier kann der Nautiker mit dem Stechzirkel eine Distanz abgreifen (1 Bogenminute = 1 Seemeile) und zum Einzeichnen des Kurses in die Karte übertragen.

Berechnung

Der Winkel zwischen den Punkten A und B mit den Breitenkoordinaten φ und den Längenkoordinaten λ auf dem Großkreis berechnet sich wie folgt:

$\, \zeta =\arccos\Big(\sin(\varphi_A) \cdot \sin(\varphi_B) + \cos(\varphi_A) \cdot \cos(\varphi_B) \cdot \cos(\lambda_B - \lambda_A) \Big)$

Wird $\, \zeta$ im Bogenmaß angegeben, kann die Großkreisentfernung d zwischen den beiden Punkten aus dem Erdradius r_E berechnet werden:

$\, d = \zeta \cdot r_E$

Die Großkreisentfernung beträgt maximal den halben Erdumfang.

Den Schnittwinkel des Großkreises von A und B mit dem Meridian im Punkt A nennt man Kurswinkel $\, \omega$. Er berechnet sich mit:

$\cos \omega = \frac {\sin \varphi_B - \sin \varphi_A \cdot \cos \zeta} {\cos \varphi_A \cdot \sin \zeta}$

Für östliche Kurse (λ_B > λ_A) liegt der Kurswinkel zwischen 0° und 180°, für westliche Kurse (λ_B < λ_A) liegt der Kurswinkel zwischen 180° und 360°. Im Gegensatz zur ebenen Geometrie unterscheiden sich die Kurwinkel von A nach B und von B nach A nicht um 180°. Im Extremfall, wenn der Großkreis über die Pole führt, können die beiden Kurswinkel sogar gleich sein.

Weblinks

• Formelsammlung zur Großkreisnavigation
• Great Circle Mapper - Great Circle mapper including ETOPS ranges (englisch)
• Großkreisberechner