Gramsche Determinante

Man kann in der Matrizenrechnung nur Determinanten von quadratischen Matrizen als Maß für die Volumenänderung ihrer Abbildung definieren. Für andere rechteckige Matrizen gibt es Minoren und Gramsche Determinanten (nach Jørgen Pedersen Gram), die ähnliches leisten.

Definition

Für alle Matrizen $A \in K^{m \times n}$ mit $m \leq n$ nennt man Gram(A) = det(A * A^T) die Gramsche Determinante und es gilt: Gram(A) ist nie negativ, wenn $K = \mathbb{R}$ und genau dann 0, wenn rangA < m. Man kann sie auch nach dem Satz von Binet-Cauchy als Summe über das Quadrat aller maximalen Minoren schreiben.

Gramsche Matrix

Sei auf einem n-dimensionalen K-Vektorraum V mit der Basis (v₁,..,v_n) eine Bilinearform $\langle\cdot , \cdot\rangle \colon V\times V\to K,\quad (v,w)\mapsto\langle v,w\rangle$ definiert. Dann nennt man die Matrix

$M := \begin{pmatrix} \langle v_1, v_1 \rangle & \cdots & \langle v_1, v_n \rangle \\ \vdots & & \vdots \\ \langle v_n, v_1 \rangle & \cdots & \langle v_n, v_n \rangle \end{pmatrix}$

die zur Bilinearform $\langle\cdot , \cdot\rangle$ gehörige Gramsche Matrix, bzw. darstellende Matrix der Bilinearform. Letzte wird durch die Einträge der Gram Matrix vollständig festgelegt. Die Bilinearform $\langle\cdot , \cdot\rangle$ ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn M symmetrisch und positiv definit ist.

Ist $\langle\cdot , \cdot\rangle$ ein Skalarprodukt, v₁,..,v_n eine beliebige Menge von Vektoren aus V, so bezeichnet man M als die Gram-Matrix von v₁,...,v_n. Eine wichtige Anwendung in diesem Fall ist das Kriterium der linearen Unabhängigkeit: Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn ihre Gramsche Determinante (Determinante der Gram-Matrix) nicht Null ist. Da die Gramsche Determinante in diesem Falle nichtnegativ ist, kann man aus ihr die Wurzel ziehen und durch

$\operatorname{Vol}(v_1,..,v_n) := \sqrt{\det(M)}$

das n-dimensionale Volumen des durch v₁,..,v_n aufgespannten Spates erklären.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13 Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3. 
• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 6. Auflage. Vieweg, 2003/2009, ISBN 978-3-528-56508-4.