Grenzschichtgleichungen

Die Grenzschichtgleichungen treten in der Grenzschichttheorie als Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen auf. Für eine zweidimensionale stationäre Strömung mit konstanter Dichte lauten sie

$u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

$0=\frac{\partial p}{\partial y}$

und

$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.$

In der Außenströmung gilt die Eulergleichung, der Druck an der Körperoberfläche entspricht dem Druck in der reibungsfreien Außenströmung

$u_{\delta} \frac{\partial u_{\delta}}{\partial x} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}.$

Anfangs- und Randbedingungen

Zur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung sind folgende Anfangs- und Randbedingungen erforderlich

u(x,0) = 0

v(x,0) = 0

$u(x,\infty) = u_{\delta}(x)$

Die ersten beiden Gleichungen folgen aus der Haftbedingung an der Körperoberfläche. Als dritte Bedingung ist die Geschwindigkeit der Außenströmung vorgegeben. Damit lässt sich die Wandbindungsgleichung (u = v = 0) ableiten

$\eta\left(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)_{y=0} = \frac{\mathrm{d}\,p(x)}{\mathrm{d}\,x}$

welche die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand mit dem durch die Außenströmung aufgeprägen Druckgradienten in Beziehung setzt. Bei einer Plattenströmung wird der Druckgradient zu Null, bei einer beschleunigten Strömung ist er negativ und bei einer verzögerten Strömung positiv. Eine Grenzschichtablösung kann nur bei einer verzögerten Außenströmung auftreten. Die Grenzschicht löst von der Körperkontur ab, wenn die Wandschubspannung an der Wand

$\eta\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{y=0} = 0$

verschwindet.

Lösung der Grenzschichtgleichungen

Im Gegensatz zu den elliptischen Navier-Stokes-Gleichungen bilden die Grenzschichtgleichungen ein parabolisches Gleichungssystem. Dadurch gibt es keinen stromaufwärts gerichteten Informationsfluss, so dass eine numerische Lösung mit einem Upstream Verfahren möglich ist.

Eine analytische Lösung der Grenzschichtgleichungen ist nur in einigen Sonderfällen möglich. Die einfachste Lösung ist die Grenzschichtströmung entlang einer unendlich dünnen ebenen Platte (Blasius-Lösung). In diesem Fall sind die Lösungen an verschiedenen Stellen entlang der Platte ähnlich und können durch eine geeignete Skalierung der Koordinate normal zur Wand ineinander überführt werden. Dies liefert einen Ausdruck für die Grenzschichtdicke

$\frac{\delta(x)}{x}=\frac{5.0}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} \quad \mathrm{wobei} \quad \mathrm{Re}_x=\frac{u_\infty x}{\nu} \quad.$

Als Dicke der Grenzschicht δ(x) wird die Dicke festgelegt, bei der die Geschwindigkeit 99 Prozent der Geschwindigkeit der freien Außenströmung erreicht hat ($u=0.99 u_\infty$).

Neben dieser Definition der Grenzschichtdicke wird als physikalisch sinnvolleres Maß oft die Verdrängungsdicke δ₁ oder die Impulsverlustdicke δ₂ verwendet.

Quellen

• Hermann Schlichting (et al.): Grenzschicht-Theorie. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-23004-1

Literatur

• Spurk, Aksel: Strömungslehre, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3540384397