Gudermannfunktion

Die Gudermannfunktion im Reellen

Die Gudermannfunktion, benannt nach Christoph Gudermann (1798–1852), stellt eine Verbindung zwischen den trigonometrischen und den hyperbolischen Funktionen her, ohne dabei die komplexen Zahlen zu benutzen.

Sie ist definiert durch:

$\begin{align} {\rm gd}\,(x) &:=\int_0^x \frac{\mathrm dt}{\cosh t} \\ &\,=2\arctan \left(\tanh\frac{x}{2}\right) \end{align}$

Für reelle x gilt sogar:

$\begin{align} {\rm gd}\,x &= \arctan (\sinh x)\\ &=2\arctan \left(e^x\right)-{\pi\over2} \end{align}$

Die Umkehrfunktion der Gudermannfunktion ist definiert durch

$\begin{align} \operatorname{arcgd}\,(x) &:={\rm gd}^{-1}(x)=\int_0^x \frac{\mathrm dt}{\cos t} \\ &\,=\operatorname{arcosh}\,(\sec x) \\ &\,=\operatorname{artanh}\,(\sin x) \\ &\,=\ln((1+\sin x)\sec x) \\ &\,=\ln(\tan x+\sec x) \\ &\,=\ln\left(\tan\left(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{x}{2}\right)\right) \\ &\,=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right) \end{align}$

Die Ableitung der Gudermannfunktion und derer Umkehrung sind:

${\mathrm d \over \mathrm dx}\,\mbox{gd}\,x=\mbox{sech}\,x=\cos(\mbox{gd}\,x),$

${\mathrm d \over \mathrm dx}\,\operatorname{arcgd}\,x=\sec x$

Besonders bemerkenswert sind die Identitäten:

$\tanh\frac{x}{2} = \tan \frac{\mbox{gd}(x)}{2}.\,$

$\operatorname{gd}\left({\mathrm i}\cdot x \right) = {\mathrm i} \cdot \operatorname{arcgd}\left(x\right)$

Die Verbindung von Kreis- und Hyperbelfunktionen ist gewährleistet durch:

$\begin{align} \sinh x &=\tan(\mbox{gd}\,x) \\ \cosh x &=\sec(\mbox{gd}\,x)\\ \tanh x &=\sin(\mbox{gd}\,x)\\ \mbox{sech}\,x&=\cos(\mbox{gd}\,x)\\ \mbox{csch}\,x&=\cot(\mbox{gd}\,x)\\ \coth x &=\csc(\mbox{gd}\,x)\ \end{align}$

Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang mit der Exponentialfunktion:

$\begin{align} \exp\left(x\right) &= \frac{1}{\cos(\operatorname{gd}\,x)} +\tan(\operatorname{gd}\,x) \\ &= \sec(\operatorname{gd}\,x) +\tan(\operatorname{gd}\,x)\\ &= \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\operatorname{gd}\,x}{2}\right) \\ &= \frac{1+\sin(\operatorname{gd}\,x)}{\cos(\operatorname{gd}\,x)} \end{align}$

Praktische Anwendung

Mit der Gudermannfunktion bzw. deren Umkehrung kann man die geographische Breite φ und Länge λ der Mercator-Projektion berechnen.

Quellen

• Eintrag über Gudermannfunktion bei MathWorld