Kreis- und Hyperbelfunktionen

Sowohl die Kreisfunktionen (z. B. Sinus, Kosinus) als auch die Hyperbelfunktionen (Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus) sind mathematische Funktionen, die sowohl für alle reellen als auch komplexen Zahlen definiert sind.

In diesem Artikel werden nur die Sinus- und Kosinus-Funktionen detailliert behandelt. Die Tangens-, Kotangens-, Sekans- und Kosekans-Funktionen sowie ihre analogen Hyperbelfunktionen ähneln diesen in ihren Definitionen und Eigenschaften.

Definitionen

Beide Gruppen von Funktionen lassen sich unter anderem durch die Exponentialfunktion oder ihre Taylorreihenentwicklung definieren. Die ähnlichen Namen (z. B. Sinus, Sinus Hyperbolicus) lassen sich durch die ähnlichen Definitionen und Eigenschaften verstehen.

Oft unterscheiden sich die Kreis- und Hyperbelfunktion in Definition oder Eigenschaften nur darin, dass die Funktionsvariable der Kreisfunktion durch das Produkt aus imaginärer Einheit mit der Funktionsvariablen ersetzt wird, oder das positive und negative Vorzeichen vertauscht sind.

Definition über die Exponentialfunktion

Die Definitionen von Kreis- und Hyperbelfunktionen über die Exponentialfunktion erlauben es, das Funktionsverhalten auf eine bekannte Funktion zurückzuführen. Sie werden daher häufig benutzt.

$\sin ( z ) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

$\sinh ( z ) = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}$

$\cos ( z ) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$

$\cosh ( z ) = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}$

Herleitung

Aus der Eulerschen Formel lässt sich die Schreibweise des sin(z) und des cos(z) als Summe von Exponentialfunktionen herleiten. Die Eulersche Formel lautet:

e^iφ = cos φ + isin φ

e ^{− iφ} = cos φ − isin φ

Die zweite Gleichung folgt aus der Eulerschen Formel: Man potenziert die Eulersche Formel mit -1 und erweitert den Bruch so, dass man die 3. Binomische Formel anwenden kann und lässt den Nenner mit Hilfe des Trigonometrischen Pythagoras verschwinden.

Wenn man nun die zweite Gleichung von der Ersten subtrahiert und $\sin \varphi$ isoliert, dann erhält man die oben genannte Gleichung für sin(z). Die Formel für cos(z) erhält man analog. Die beiden Gleichungen müssen dann aber addiert werden.

Definition über Reihenentwicklung

Die Taylorreihen mit dem Entwicklungspunkt z=0 unterscheiden sich nur in den Vorzeichen jedes zweiten Summengliedes. Bei den Hyperbelfunktionen werden alle Reihenglieder addiert; bei den Kreisfunktionen wird jedes zweite Reihenglied subtrahiert.

$\begin{align} \sin ( z ) &= z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \sinh ( z ) &= z + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \cos ( z ) &= 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}\\ \cosh ( z ) &= 1 + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!} \end{align}$

Hier steht der Ausdruck n! für die Fakultät von n, das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ speziell auch 0! = 1

Eigenschaften der Funktionen

Kreis und Hyperbel

Der Name Kreis- bzw. Hyperbelfunktionen stammt daher, dass die Kreisfunktionen einen Kreis x² + y² = 1 und die Hyperbelfunktionen eine Hyperbel x² − y² = 1 beschreiben. u sei die eingeschlossene Fläche zwischen x-Achse, dem Graphen y(x) und der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph. Für die Kreisfunktionen ist u ebenfalls gleich dem halben Winkel im Bogenmaß zwischen der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph und der x-Achse. Beispielsweise entspricht einem Viertelkreis, also einer Fläche von u=π/4, ein Winkel von π/2. Man erhält somit bei der Umkehrung der Winkelfunktion einen Bogen (Arcus), daher: Arcussinus, Arcuscosinus. Für die Hyperbelfunktionen gilt nur die Definition mit der Fläche. Daher ergibt sich bei der Umkehrfunktion eine Fläche: Areasinus Hyperbolicus, Areacosinus Hyperbolicus.^[1]

Kreisfunktionen:

$\sin^2 (u) + \cos^2 (u) = 1 \quad \text{mit} \quad y=\sin (u) \quad \text{und} \quad x=\cos (u)$

$\Longrightarrow \quad \text{Kreisgleichung} \quad y = \pm \sqrt{1 - x^2}$

Hyperbelfunktionen:

$\cosh^2 (u) - \sinh^2 (u) = 1 \quad \text{mit} \quad y=\sinh (u) \quad \text{und} \quad x=\cosh (u)$

$\Longrightarrow \quad \text{Hyperbelgleichung} \quad y = \pm \sqrt{x^2-1}$

Umwandlung zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen

Für alle $z \in \mathbb C$ gilt:

$\begin{array}{rcr} \sin ( i \cdot z ) & = & i \cdot \sinh ( z ) \\ \sinh ( i \cdot z ) & = & i \cdot \sin ( z ) \\ \cos ( i \cdot z ) & = & \cosh ( z ) \\ \cosh ( i \cdot z ) & = & \cos ( z ) \end{array}$

beziehungsweise:

$\begin{array}{rcr} \sin ( z ) & = & - i \cdot \sinh ( i \cdot z ) \\ \sinh ( z ) & = & - i \cdot \sin ( i \cdot z ) \\ \cos ( z ) & = & \cosh ( i \cdot z ) \\ \cosh ( z ) & = & \cos ( i \cdot z ) \end{array}$

Eine andere Möglichkeit die Kreis- und Hyperbelfunktionen ineinander umzuwandeln bietet die Gudermannfunktion. Der Vorteil ist dabei, dass der Umweg über die Komplexen Zahlen vermieden werden kann.

$\sinh(x) = \tan(\operatorname{gd}(x))\$

$\cosh(x) = \sec(\operatorname{gd}(x))\$

$\tanh(x) = \sin(\operatorname{gd}(x))\$

$\operatorname{sech}(x) = \cos(\operatorname{gd}(x))\$

$\operatorname{csch}(x) = \cot(\operatorname{gd}(x))\$

$\coth(x) = \csc(\operatorname{gd}(x))\$

Ableitungen

Auch die Ableitungen der Kreis- und Hyperbelfunktionen sind einander ähnlich.

$\begin{matrix} \sin' (z) & = & \cos (z) \\ \sinh'(z) & = & \cosh (z) \\ \cos' (z) & = & -\sin (z) \\ \cosh'(z) & = & \sinh (z) \end{matrix}$

Additionstheoreme (Goniometrische Beziehungen)

Für die Kreis- wie auch für die Hyperbelfunktionen gelten die folgenden Additionstheoreme:^[2]

$\begin{matrix} \sin(x \pm y) & = & \sin(x)\cos(y) \pm \cos(x)\sin(y)\\ \cos(x \pm y) & = & \cos(x)\cos(y) \mp \sin(x)\sin(y)\\ \tan(x \pm y) & = & \displaystyle\frac{\tan(x)\pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x) \tan(y)}\\\\ \end{matrix}$

$\sinh(x \pm y) = \sinh(x)\cosh(y) \pm \cosh(x)\sinh(y)$

$\cosh(x \pm y) = \cosh(x)\cosh(y) \pm \sinh(x)\sinh(y)$

$\tanh(x \pm y) = \frac{\tanh(x) \pm \tanh(y)}{1 \pm \tanh(x)\tanh(y)}$

$\sin(x) + \sin(y) = 2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cos\left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\sin(x) - \sin(y) = 2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sin \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\cos(x) + \cos(y) = 2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\cos(x) - \cos(y) = -2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sin \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\sinh(x) + \sinh(y) = 2\sinh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cosh \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\sinh(x) - \sinh(y) = 2\cosh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sinh \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\cosh(x) + \cosh(y) = 2\cosh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \cosh \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\cosh(x) - \cosh(y) = 2\sinh \left(\frac{x+y}{2} \right) \cdot \sinh \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\sin(x) \cdot \sin(y) = \frac{1}{2} \Big[\cos(x-y) - \cos(x+y)\Big]$

$\cos(x) \cdot \cos(y) = \frac{1}{2} \Big[\cos(x-y) + \cos(x+y)\Big]$

$\sin(x) \cdot \cos(y) = \frac{1}{2} \Big[\sin(x-y) + \sin(x+y)\Big]$

$\sinh(x) \cdot \sinh(y) = \frac{1}{2} \Big[\cosh(x+y) - \cosh(x-y)\Big]$

$\cosh(x) \cdot \cosh(y) = \frac{1}{2} \Big[\cosh(x+y) + \cosh(x-y)\Big]$

$\sinh(x) \cdot \cosh(y) = \frac{1}{2} \Big[\sinh(x+y) + \sinh(x-y)\Big]$

Für weitere Beziehungen siehe auch die Formelsammlung Trigonometrie.

Quellen

1. ↑ dtv-Atlas zur Mathematik. Band 1. Deutscher Taschenbuch Verlag, München, 4. Auflage 1980. ISBN 3-423-03007-0. S. 185.
2. ↑ Milton Abramowitz and Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, Kapitel 4.3 und 4.5