- Algebraische Erweiterung
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In der Algebra heißt eine Körpererweiterung
algebraisch, wenn jedes Element von
algebraisch über
ist, d.h. wenn jedes Element von
Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten in
ist. Körpererweiterungen, die nicht algebraisch sind, also transzendente Elemente enthalten, heißen transzendent.
Zum Beispiel sind die Erweiterungen
und
algebraisch, während
transzendent ist.
Ist
ein Oberkörper von
, dann kann man
als
-Vektorraum auffassen und seine Dimension bestimmen. Diese Vektorraumdimension wird Grad der Körpererweiterung genannt. Je nachdem, ob dieser Grad endlich oder unendlich ist, teilt man Körpererweiterungen in endliche Erweiterungen und unendliche Erweiterungen ein. Jede transzendente Erweiterung ist unendlich; daraus folgt, dass jede endliche Erweiterung algebraisch ist.
Es gibt aber auch unendliche algebraische Erweiterungen, zum Beispiel bilden die algebraischen Zahlen eine unendliche Erweiterung von
.
Ist a algebraisch über
, dann ist der Ring
aller Polynome in a über
sogar ein Körper.
ist eine endliche algebraische Erweiterung von
. Solche Erweiterungen, die durch Adjunktion eines einzigen Elements entstehen, heißen einfache Erweiterungen.
Ein Körper, der keine echte algebraische Erweiterung besitzt, ist algebraisch abgeschlossen.
Sind
und
Körpererweiterungen, so sind folgende Aussagen äquivalent:
ist algebraisch.
und
sind algebraisch.
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