H-Raum

In der Topologie besteht ein H-Raum aus einem topologischen Raum X (oft als zusammenhängend vorausgesetzt) und einer stetigen Abbildung $\mu\colon X\times X\to X$ mit einer Einheit $e\in X$ in dem Sinne, dass die Endomorphismen

$\mu(\cdot, e):X\to X$ und $\mu(e,\cdot):X\to X$

homotop zur identischen Abbildung id_X auf X relativ zu e sind.

Es gibt auch Definitionen, in denen stärkere oder schwächere Forderungen an diese Homotopie gestellt werden: Manchmal wird die Homotopie nur relativ e, manchmal sogar relativ X gefordert. Diese drei Varianten sind äquivalent, wenn X CW-Komplex ist.

Der Name H-Raum wurde von Jean-Pierre Serre zu Ehren von Heinz Hopf vorgeschlagen.

Eigenschaften

Die multiplikative Struktur eines H-Raums bereichert die Struktur seiner Homologie und Kohomologie. So ist der Kohomologiering eines wegzusammenhängenden H-Raums mit endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen eine Hopf-Algebra. Außerdem kann man auf den Homologiegruppen eines H-Raums das Pontryagin-Produkt erklären.

Die Fundamentalgruppe eines H-Raums ist abelsch: Sei X ein H-Raum mit Einheit e, und seien f und g Schleifen mit Basispunkt e. Dann können wir eine Abbildung F: [0,1]×[0,1] → X durch F(a,b) = f(a)g(b) erklären. Nun ist F(-,0) = F(-,1) = fe homotop zu f und F(0, -) = F(1, -) = eg zu g. Dann entspricht F einer Homotopie von der Verkettung f·g von Schleifen zu g·f.

Beispiele

J. F. Adams hat gezeigt, dass unter den Sphären nur S⁰, S¹, S³ und S⁷ H-Räume sind; die Multiplikation wird jeweils von der Multiplikation auf $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$ (Quaternionen) und $\mathbb O$ (Oktonionen) induziert.

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.