Heinz Hopf

Heinz Hopf (rechts) in Oberwolfach, zusammen mit Hellmuth Kneser

Heinz Hopf (* 19. November 1894 in Gräbschen bei Breslau; † 3. Juni 1971 in Zollikon) war deutsch-schweizerischer Mathematiker, der ein Pionier der algebraischen Topologie war.

Herkunft und Ausbildung

Hopf wurde in Gräbschen in Schlesien als Sohn des jüdischen Brauereibesitzers Wilhelm Hopf und dessen Ehefrau Elisabeth Kirchner geboren, die Familie war aber lutherisch. Nach dem Besuch des König-Wilhelm-Gymnasiums zu Breslau studierte er ab 1913 an der schlesischen Friedrich-Wilhelm-Universität zu Breslau Mathematik. In Breslau lehrten damals Adolf Kneser, Max Dehn, Ernst Steinitz, Erhard Schmidt und Rudolf Sturm.

Werdegang

Sein Studium wurde durch den Ersten Weltkrieg unterbrochen. Er meldete sich 1914 freiwillig und verbrachte den ganzen Krieg als Leutnant an der Westfront. Bei Verdun wurde er schwer verwundet. (Eisernes Kreuz 1918). Während der Erholungszeit 1917 konnte er in Breslau bei Erhard Schmidt Kurse besuchen, und die Beschäftigung mit den von Schmidt gestellten Problemen waren in seiner restlichen Soldatenzeit nach seinen eigenen Worten ein Lichtblick. Nach dem Krieg studierte er in Heidelberg (bei Paul Stäckel und Oskar Perron) und Berlin, bei Issai Schur, Ludwig Bieberbach und Erhard Schmidt. 1925 wurde er bei Erhard Schmidt in Berlin mit einer Arbeit über den Zusammenhang von Krümmung in der Differentialgeometrie und Topologie^[1] promoviert. Darin wurden auch die dreidimensionalen einfach zusammenhängenden riemannschen Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung klassifiziert (Clifford-Klein Raumproblem, 3 Fälle hyperbolisch, euklidisch, sphärisch). Unter Schmidt studierte er auch intensiv die frühen topologischen Arbeiten von Brouwer und Henri Poincaré.

Von 1925 bis 1926 lebte er in Göttingen, wo er bei Emmy Noether hörte und den russischen Topologen Alexandroff kennenlernte, mit dem er sich befreundete. Insbesondere von Emmy Noether lernten beide, die Homologietheorie gruppentheoretisch zu behandeln. In seiner Göttinger Habilitation von 1926 untersuchte er Homotopieklassen von Abbildungen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten in Sphären, untersuchte damit Abbildungsklassen von Vektorfeldern auf solchen Mannigfaltigkeiten und gab einen Beweis von Solomon Lefschetzs Indextheorem für Vektorfelder auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten (Summe der Indizes gibt Euler-Charakteristik, also eine fundamentale topologische Invariante, heute bekannt als Satz von Poincaré-Hopf).^[2] 1928 entwickelte er diese Ideen von Lefschetz weiter und gab einen Beweis des Lefschetz- Fixpunktsatzes, in dem erstmals Homologiegruppen auftauchten^[3] . Gleichzeitig definierte er für die Zyklen in Schnitt-Mannigfaltigkeiten über die Schnittzahl ein Produkt, dass sich später als frühes Kohomologie-Konzept erwies. 1927-1928 war er mit Alexandroff als Rockefeller-Stipendiat in Princeton, wo sie mit Oswald Veblen, James Alexander und Lefschetz zusammenarbeiteten. Im Oktober 1928 heiratete er Anja von Mickwitz (1891-1967). Hopf hatte ab 1931 eine Professur an der ETH Zürich als Nachfolger des nach Göttingen gewechselten Hermann Weyl, u.a. auf Empfehlung von Schur, dem er selbst später auf dessen Flucht vor den Nationalsozialisten 1936 an der ETH vorübergehend Unterschlupf verschaffen konnte. In Zürich nahm Hopf auch die Schweizer Staatsbürgerschaft an.

1931 definierte er die Hopf-Zahl als topologische Invariante der Abbildung von Sphären verschiedener Dimension^[4]. 1935 veröffentlichte er mit Alexandroff das bekannte Lehrbuch Topologie in der Grundlehren-Reihe des Springer Verlages, das als eines der ersten Lehrbücher dieses Gebietes gilt und großen Einfluss hatte (von den geplanten drei Bänden erschien nur der erste). 1939 behandelte er die Topologie kompakter Liegruppen, wobei er die Hopf-Algebra einführt, die später in der Theorie der Quantengruppen von fundamentaler Bedeutung wurde^[5].

Eine Arbeit von 1941 Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe^[6] wird als eine der ersten Arbeiten zur homologischen Algebra angesehen, die kurze Zeit später besonders von Samuel Eilenberg und Norman Steenrod entwickelt wurde.

Zu seinen Studenten in Zürich zählen Beno Eckmann, Hans Samelson, Eduard Stiefel.

Würdigungen

Nach ihm benannt sind die Hopf-Faserungen, H-Räume, H-Gruppen, Hopf-Invariante, Hopf-Algebren, die Hopf-Verschlingung und der Satz von Hopf-Rinow über die geodätische Vollständigkeit riemannscher Mannigfaltigkeiten^[7].

Hopf war sechsfacher Ehrendoktor (u.a. Sorbonne, Princeton), erhielt den Moskauer Lobatschewski-Preis, war Mitglied der Accademia Nazionale dei Lincei, der National Academy of Sciences der USA und von 1954 bis 1958 Präsident der Internationalen Mathematischen Union. 1950 hielt er einen Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge (Massachusetts) (Die n-dimensionalen Sphären und die projektiven Räume in der Topologie).

Heinz-Hopf-Preis

Die ETH Zürich vergibt alle zwei Jahre den Heinz-Hopf-Preis für hervorragende wissenschaftliche Leistungen im Gebiet der reinen Mathematik. Die Preisübergabe erfolgt jeweils anlässlich der Heinz-Hopf-Vorlesungen, die vom Preisträger gehalten werden.

Schriften

• Hopf: Collected Papers, Springer 2001 (Hrsg. Beno Eckmann)
• Hopf: Selecta Heinz Hopf, Springer 1964
• Hopf: Differential geometry in the large, Springer 1983 (Seminar New York University 1947, Stanford 1956)
• Alexandroff, Hopf: Topologie 1935
• Hopf: Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel, Nachr.Akad.Wiss.Göttingen 1928
• Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugeloberfläche, Mathematische Annalen 1931, Hopf Faserung, Hopf Invariante
• Hopf: Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe Comm.Math.Helv.1941/2
• Hopf: Vom Bolzanoschen Nullstellensatz zur algebraischen Homotopietheorie der Sphären, Jahresbericht DMV 1953

Viele Aufsätze von Hopf z.B. aus den Mathematischen Annalen, Comm.Math.Helvetici sind hier online:[1] Einige Aufsätze aus den Proc.Nat.Acad. sind hier online:[2]

Literatur

• Hans Samelson: Zum wissenschaftlichen Werk von Heinz Hopf, Jahresbericht DMV Bd.78, 1976, S.126
• Frei, Stammbach: Heinz Hopf, in I.James Hrsg. History of topology, Amsterdam 1999
• Hans Freudenthal, Artikel Hopf in Dictionary of Scientific Biography

Weblinks

• Literatur von und über Heinz Hopf im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
• Heinz Hopf. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• Offizielle Website des Heinz Hopf-Preises (engl.)
• Beno Eckmann: Zum 100.Geburtstag von Heinz Hopf, Elemente der Mathematik 1994
• Behnke, Hirzebruch: In memoriam Heinz Hopf, Mathematische Annalen, 1972
• Alexandrow: Einige Erinnerungen an Heinz Hopf, Jahresbericht DMV 1976/77
• Voss: In memoriam Heinz Hopf, Elemente der Mathematik 1973

Einzelnachweise

1. ↑ Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem, Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen, Mathematische Annalen Bd.95, 1926
2. ↑ Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, Mathematische Annalen Bd.96, 1927
3. ↑ A new proof of the Lefschetz Formula for invariant points, Proc.Nat.Acad.Sciences Bd.14, 1928 (Online), verbessert in Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel, Nachr.Gött.Akademie Wiss., 1928 (Online)
4. ↑ Über die Abbildung der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugeloberfläche, Mathematische Annalen Bd. 104, 1931
5. ↑ Über den Rang geschlossener Liescher Gruppen, Comm.Math.Helv. Bd.13, 1941/2
6. ↑ Comm.Math.Helvetici Bd.14, 1941/2
7. ↑ Hopf, Rinow Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche, Comm.Math.Helv. Bd.3, 1931, S.209

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