Heavy-tailed-Verteilung

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Heavy-tailed-Verteilung bzw. endlastige Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer unendlichen Varianz. Anschaulich besagt der Begriff, dass auf dem „Schwanz“ der Verteilung noch Masse liegt. Die Verteilung einer Zufallsgröße X heißt je nach Bedingung short-, medium- oder heavy-tailed. Definiert man die bedingte mittlere Excess-Funktion

$\operatorname{ES}_X[x]:= \operatorname{E}[X-x | X \geq x]$,

so gilt

$X\;\text{ist}\;\begin{cases}\text{short-tailed}\\ \text{medium-tailed}\\ \text{heavy-tailed}\end{cases}\quad:\Longleftrightarrow\quad\lim_{x \to \infty} \operatorname{ES}_X(x) = \begin{cases}0\\ \text{const}\\ \infty\end{cases}$.

Sind X_n unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen, so gilt unter Annahme, dass sie heavy-tailed sind, dass die Verteilung der Summe der X_n asymptotisch durch die Verteilung des Maximums der X_n bestimmt ist.

Interpretation

Zur Illustration modelliere die Zufallsgröße X eine Wartezeit. Folgt X einer short-tailed Verteilung, so gilt: Je länger man bereits gewartet hat, desto kürzer die zu erwartende Restwartezeit. Folgt X einer medium-tailed Verteilung, so hat die bisherige Wartezeit keinen Einfluss auf die noch zu erwartende Restwartezeit. Folgt X dagegen einer long-tailed Verteilung, so gilt: Je länger man bereits gewartet hat, desto länger ist die noch zu erwartende Restwartezeit.

Anwendung

In der Versicherungsmathematik verwendet man Heavy-tail- (oder auch Heavy-tailed-) Verteilungen zur Modellierung von Großschäden und Extremereignissen. Haftpflichtsparten bezeichnet man wegen Ihrer langen Abwicklungsdauer auch als sogenannte Long-tail-Sparten. Dagegen sind Versicherungssparten wie die Kaskoversicherung, die Hausrat- oder Glasversicherung sogenannte Short-tail-Sparten. Die Abwicklung der Schäden in diesen Short-tail-Sparten ist im Allgemeinen kurz. In den Long-tail-Sparten sind Abwicklungsdauern über 40 Jahre keine Seltenheit.

Literatur

• Paul Embrechts, Thomas Mikosch, Claudia Klüppelberg: Modelling extremal events. Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-60931-8.