Lévy-Verteilung

Die Familie der Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy (1886–1971)) mit Parametern $\gamma >0,\, \delta \in \mathbb R$ ist definiert durch die Dichte

$f(x)=\sqrt{\frac{\gamma}{2 \pi}} \frac{1}{(x-\delta)^{3/2}}\exp\left(-\frac{\gamma}{2(x-\delta)}\right),\,\, x>\delta$.

Die Verteilung, die entsteht, wenn als Parameter γ = 1 und δ = 0 gewählt werden, wird auch als Standard-Lévy-Verteilung bezeichnet.

Eigenschaften

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d.h. sie erfüllt die Bedingung

$(X_1+X_2+ \dotsb+X_n) \sim n^{1/\alpha}X$,

Wobei $X_1, X_2, \ldots, X_n, X$ unabhängige Standard-Lévy-Variablen sind (hier ist α = 1 / 2). Da die Theorie der alpha-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Momente

Dichten von einigen Lévy-verteilten Zufallsgrößen

Die Lévy-Verteilung besitzt weder endlichen Erwartungswert noch endliche Varianz, denn $E(|X|)=\infty$. Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den sogenannten heavy-tailed distributions, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z.B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta