Hilbertscher Basissatz

Der Hilbertsche Basissatz (nach David Hilbert) ist ein grundlegender Satz in der algebraischen Geometrie, er verbindet verschiedene Endlichkeitsbedingungen.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Der Hilbertsche Basissatz besagt in seiner allgemeinen Form:

• Ist A noethersch, so ist jeder Polynomring $A[X_1,\ldots,X_n]$ mit Koeffizienten in A noethersch.^[1][2]

Da die Algebren endlichen Typs genau die Quotientenringe von Polynomringen sind, ist diese Aussage äquivalent zu:

• Ist A ein noetherscher Ring und B eine A-Algebra endlichen Typs, so ist auch B noethersch.

Die (bis auf den Sprachgebrauch) 1888 von Hilbert bewiesene Fassung behandelt den Spezialfall des Körpers:

• Der Polynomring $k[X_1,\ldots,X_n]$ über einem Körper k ist noethersch.

Eine wichtige Anwendung ist die folgende Aussage: Ist eine Teilmenge eines kⁿ für einen Körper k durch unendlich viele Polynomgleichungen beschrieben, so genügen bereits endlich viele von ihnen. Genauer: Ist $V=\{(x_1,\ldots, x_n)\in k^n;\, f(x_1,\ldots, x_n)=0 \mbox{ für alle }f\in\mathcal{F}\}$ für eine beliebige Menge von Polynomen $\mathcal{F}\subset k[X_1,\ldots,X_n]$, so gibt es endlich viele $f_1,\ldots, f_m \in \mathcal{F}$, so dass $V=\{(x_1,\ldots, x_n)\in k^n;\, f_i(x_1,\ldots, x_n)=0 \mbox{ für alle }i=1,\ldots, m\}$. Dies ist der schwierigste Teil des Beweises der Aussage, dass die Zariski-Topologie eine Topologie ist.

Siehe auch

• algebraische Varietät
• Gröbnerbasis

Einzelnachweise

1. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel I, §2, Satz 2.3 (sehr kurzer Beweis)
2. ↑ B. L. van der Waerden: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, §115