Hohmannbahn

Unter der Hohmannbahn oder Hohmann-Ellipse versteht man in der Raumfahrt eine elliptische Bahn, die den Übergang zwischen zwei komplanaren, ko-rotierenden, sich nicht schneidenden elliptischen Bahnen energetisch optimiert. Gleichzeitig verlängert sich aber die Reisezeit um ein Vielfaches. Die Übergangsbahn ist eine Ellipse, die sowohl den Anfangspunkt, als auch den Endpunkt tangential berührt und jeweils durch einen Kick-Burn in diese übergeht. Eine Hohmann-Bahn ist der energetisch günstigste 2-Impuls-Übergang.

Der Name geht zurück auf den deutschen Ingenieur Walter Hohmann und seine Schrift Die Erreichbarkeit der Himmelskörper (1925).

Das sogenannte „Weak Stability Boundary“-Verfahren optimiert zusätzlich die Abbremsung.

Beispiel

Transferbahn zum Mars

Transfer Erde→Mars

Transferbahn einer Mars-Sonde

Der Mars ist der Erde in Oppositionsstellung am nächsten. Ein Satellit aber kann diese geometrische Nähe nur unter hohem Aufwand nutzen, da er in diesem Fall gegen die Bahnbewegung der Erde anfliegen muss.

Nach Hohmann dagegen ist der energetisch günstigste Transfer derjenige, bei dem der Satellit den Mars in Konjunktion zu der Position der Erde erreicht, von der aus der Satellit gestartet wurde. In der Abbildung links startet die Sonde auf der Erde bei (1) und erreicht den Mars bei Position (3), während die Sonne die ganze Zeit über in einem der Brennpunkte der Transferbahn (gelb) steht. Die doppelte Halbachse der Transferellipse ist die Summe aus der Entfernung Erde-Sonne und Sonne-Mars. Daraus ergibt sich nach dem dritten Keplerschen Gesetz eine halbe Umlaufzeit von achteinhalb Monaten.

Das Bild rechts zeigt die Transferbahn des Mars Reconnaissance Orbiters, die zwar einen höheren Energieaufwand als die Hohmann-Bahn erfordert, die Sonde dafür allerdings nur 7 Monate unterwegs ist.

Transfer auf geostationäre Bahn

Hohmannübergang von (1) nach (3)

Um Satelliten in eine geostationäre Bahn (Geostationary Earth Orbit, GEO) zu positionieren, werden sie zunächst auf eine niedrige kreisförmige Umlaufbahn (Low Earth Orbit, LEO) gebracht, siehe (1) in der Zeichnung. Dort erfolgt eine erste Bahnkorrektur (zweite Zündung der Oberstufe der Trägerrakete), sie weitet die Kreisbahn auf in eine Ellipse (Geostationäre Transferbahn, GTO) mit dem Apogäum beim zu erreichenden GEO, siehe (2). Die zweite Korrektur erfolgt im Apogäum und bringt den Satelliten auf den gewünschten kreisförmigen GEO, siehe (3). Gleichzeitig wird dabei die Bahnneigung auf 0° reduziert. Dieses Bahnmanöver wird in der Praxis oft vom Apogäumsmotor des Satelliten durchgeführt, einige Trägerraketen bringen den Satelliten allerdings mit einer dritten Zündung der Oberstufe selbst in den GEO. Vereinfachend wird dabei angenommen, dass eine kurzzeitige Zündung des Triebwerks für die Geschwindigkeitsänderung genügt. In Wirklichkeit wird sich der notwendige Schub nur über eine längere Brenndauer erreichen lassen, wodurch weitere Bahnkorrekturen erforderlich werden.

Einige Trägerraketen wie die Ariane-Raketen setzen jedoch die Satelliten gleich in der Geostationären Transferbahn aus, so dass der Satellit nur noch das als Ziffer (3.) bezeichnete Schubmanöver mit seinem Apogäumsmotor durchführen muss.

Nach der Vis-Viva-Gleichung beträgt die Geschwindigkeit v(r) eines Körpers am Ort r auf einer Ellipsenbahn mit der großen Halbachse a um die Erde:

(1) $v = \sqrt{\mu \cdot \left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) }$

mit $\mu = M \cdot \gamma$, wobei M die Erdmasse und γ die Gravitationskonstante sind. Bezeichnen r_p den Perigäums- bzw. LEO-Radius, r_a den Apogäums- bzw. GEO-Radius und $a = \frac{r_\mathrm{p} + r_\mathrm{a}}{2}$ die große Halbachse der Transferellipse, so gelten für die Ausgangsgeschwindigkeit v_LEO, Perigäumsgeschwindigkeit v_P, Apogäumsgeschwindigkeit v_A sowie Endgeschwindigkeit v_GEO die folgenden Gleichungen:

(2) $v_\mathrm{LEO} = \sqrt{ \frac{\mu}{r_\mathrm{p}} }$

(3) $v_\mathrm{p} = \sqrt{\frac{\mu}{r_\mathrm{p}} \cdot \frac{r_\mathrm{a}}{a} } = v_\mathrm{LEO} \cdot \sqrt{\frac{r_\mathrm{a}}{a} }$

(4) $v_\mathrm{a} = \sqrt{\frac{\mu}{r_\mathrm{a}} \cdot \frac{r_\mathrm{p}}{a} } = v_\mathrm{GEO} \cdot \sqrt{\frac{r_\mathrm{p}}{a} }$

(5) $v_\mathrm{GEO} = \sqrt{ \frac{\mu}{r_\mathrm{a}} }$.

Zahlenbeispiel

Gesamtenergie-Bilanz beim Hohmann-Übergang zwischen zwei Kreisbahnen mit den Anfangsradius r_p und Endradius r_a

Folgende Werte seien gegeben:

$r_\mathrm{LEO} = r_\mathrm{p} = 6.678\, \mathrm{km}$

gemessen vom Erdmittelpunkt bei einer Anfangsflughöhe von 300 km

$r_\mathrm{a} = r_\mathrm{GEO} = 42.164\, \mathrm{km}$

$\mu = 398.600\, \mathrm{km}^3/\mathrm{s}^2$

Dann betragen die gemäß obigen Gleichungen berechneten Bahngeschwindigkeiten:

(6) $v_\mathrm{LEO} = 7{,}73\, \mathrm{km}/\mathrm{s}$ [1]

(7) $v_\mathrm{p} = 10{,}2\, \mathrm{km}/\mathrm{s}$ [2]

(8) $v_\mathrm{a} = 1{,}61\, \mathrm{km}/\mathrm{s}$ [3]

(9) $v_\mathrm{GEO} = 3{,}07\, \mathrm{km}/\mathrm{s}$ [4]

Daraus ergeben sich die beiden benötigten Geschwindigkeitsänderungen.

Für den Übergang vom LEO zur Transferellipse: $v_\mathrm{p} - v_\mathrm{LEO} = 2{,}47\, \mathrm{km}/\mathrm{s}$

Für den Übergang von der Transferellipse zum GEO: $v_\mathrm{GEO} - v_\mathrm{a} = 1{,}46\, \mathrm{km}/\mathrm{s}$

Weak Stability Boundary

Die Hohmannbahn ist die energetisch günstigste Transferbahn von einem Planeten zu einem anderen. Soll der Zielplanet mit einer möglichst geringen Geschwindigkeit angeflogen werden, bietet das sogenannte Weak Stability Boundary-Verfahren einen weiteren Energiegewinn. Die Sonde wird abgebremst, indem sie entlang von Librationspunkten manövriert wird. Eine erste brauchbare Bahnberechnung erfolgte 1986. Die ESA-Sonde Smart-1 näherte sich nach dieser Methode dem Mond.

Siehe auch

• Swing-by
• Hillsche Gleichungen
• Geostationäre Transferbahn

Literatur

• Walter Hohmann: Die Erreichbarkeit der Himmelskörper - Untersuchungen über das Raumfahrtproblem. Oldenbourg, München 1925

Weblinks

• Assessment of Mission Design Including Utilization of Libration Points and Weak Stability Boundaries
• Herleitung der Formel für die Bahngeschwindigkeit v eines sich in einem Kraftfeld auf elliptischer Bahn bewegenden Körpers
• Interplanetary Trajectories-Hohmann Transfer Orbits jpl.nasa.gov, abgerufen am 4. November 2011