Keplersche Gesetze

Grafische Zusammenfassung der drei Keplergesetze:
1. Zwei ellipsenförmige Umlaufbahnen, Brennpunkte ƒ₁ und ƒ₂ für den Planet 1, ƒ₁ und ƒ₃ für den Planet 2, die Sonne (sun) in ƒ₁; große Halbachsen a₁ und a₂.
2. Die beiden grauen Sektoren A1 und A2, die in derselben Zeit überstrichen werden, haben dieselbe Fläche.
3. Die Gesamtumlaufzeiten der Planeten 1 und 2 verhalten sich wie a₁^3/2:a₂^3/2.

Die drei Keplerschen Gesetze sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen Johannes Kepler benannt. Er fand diese fundamentalen Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik brachte und die Abweichungen des Mars von einer Kreisbahn mathematisch analysierte. Die Sätze beschreiben die Bewegung idealer Himmelskörper.

1. Kepler-Gesetz

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

2. Kepler-Gesetz

Ein von der Sonne zum Planeten gezogener „Fahrstrahl“ überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

3. Kepler-Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen (Kuben) der großen Bahnhalbachsen.

Die Bedingungen für die drei Keplerschen Gesetze sind dabei unterschiedlich. Während das zweite Gesetz für alle Zentralkräfte gilt, die nicht einmal konservativ zu sein brauchen, so gilt das dritte Gesetz für alle 1 / r²-Kräfte. Abweichungen vom ersten Gesetz sieht man jedoch schon in unserem Sonnensystem: Kometen bewegen sich häufig auf parabelähnlichen Bahnen, die Achse der Merkurbahn dreht sich aufgrund der Einflüsse der anderen Planeten langsam um die Sonne.

Grundlegende Bedeutung in der Astronomie

Die beiden ersten Kepler-Gesetze stellen die exakte Lösung eines Zweikörperproblems im Rahmen der Newtonschen Mechanik dar, das durch die Keplergleichung beschrieben wird. Sie gelten für alle Zweiersysteme, wenn

• die Körper Massepunkte sind,
• keine Gravitationskräfte von anderen Körpern ausgehen,
• nichtgravitative Kräfte zu vernachlässigen sind und
• relativistische Effekte vernachlässigt werden können.

Das dritte Gesetz stellt eine sehr gute Näherung für die Lösung eines Mehrkörperproblems dar, bei dem die Masse des einen Körpers wesentlich größer ist als die der anderen. Ist die Lösung für einen der Körper gefunden, erhält man auch Informationen über die Bewegung der anderen Körper.

Obwohl die drei Gesetze die Bewegung nur in einem System zweier Himmelskörper exakt beschreiben (Bewegungsgleichung des idealisierten Zweikörpersystems in der Potentialtheorie), sind sie eine gute Näherung für die tatsächlich in einem Sonnensystem durchlaufenen Planetenbahnen. Die aus den Keplerschen Gesetzen zu entnehmenden sechs Bahnelemente (also die Halbachsenlänge, die Exzentrizität, die Inklination, die Knotenlänge, der Periapsiswinkel und die Periapsiszeit) sind die Grundlage jeder Bahnbestimmung. Die geringen Abweichungen von den Keplerbahnen durch die Gravitationswechselwirkung der leichteren Körper untereinander werden Bahnstörungen genannt.

Geschichte

400 Jahre Keplersche Gesetze, Sondermarke von 2009

Kepler formulierte die Geometrie und Kinematik der Planetenbahnen in drei Gesetzen, von denen er die beiden ersten relativ rasch fand (Astronomia Nova, „Neue Astronomie“, 1609). Die Suche nach dem dritten dauerte hingegen – einschließlich mehrerer Irrwege über Korbbögen – ein Jahrzehnt, er fand es Mitte 1618 (Harmonice mundi, ‚Weltharmonik‘, publiziert 1619). Dabei kamen ihm Überlegungen zu Hilfe, die heute als anthropisches Prinzip bezeichnet werden, und vermutlich auch die in der Musik zu findende Harmonik. Eine wichtige Grundlage für Kepler waren die Beobachtungen von Tycho Brahe und seine eigenen als Tychos Assistent, die als Rudolfinische Tafeln die Datenbasis bildeten, an der Kepler sein Modell testete. Das vorzügliche, in Prag erstellte Beobachtungsmaterial von Brahe und Kepler vom Planeten Mars war insbesondere für die beiden ersten Gesetze (Ellipsen- und Flächensatz) bedeutsam.

Ein anderes in diesem Kontext von Kepler aufgestelltes Gesetz über die wirkende Kraft, die Anima motrix, hat sich als nicht zutreffend erwiesen. Die Keplerschen Planetengesetze wurden später von Newton in den allgemeineren Zusammenhang seines Gravitationsgesetzes gestellt.

Problematik der Mehrkörpersysteme

Schon wenn zwei Körper einander umkreisen, wirkt auch eine Gravitation vom kleinen zum größeren Körper: Daher bewegt sich auch dieser und steht nicht im Brennpunkt der Ellipse, sondern beide umkreisen das Baryzentrum (Massezentrum) des Systems (Unzulänglichkeit des heliozentrischen Weltbilds: Die Sonne steht nicht im „Mittelpunkt“ des Sonnensystems).

Wenn drei oder mehr Körper einander umkreisen, kommt es zu weiteren Bahnstörungen der gravitativen Einflüsse untereinander, für die jedoch Keplers Gesetze und Bahnelemente ein bis heute verwendetes Bezugsystem darstellen (oskulierende Ellipsen, eine temporär angenäherte Lösung). Sind zahlreiche Körper gravitativ aneinander gebunden, gelten die Gesetze nur im Außenraum, weil jede umhüllende, mit Masse erfüllte Schale auf den Innenraum schwerelos bleibt. Innen können sogar chaotische, also langfristig hochgradig instabile Zustände herrschen. Daher weicht z. B. die Bewegung der Fixsterne um das galaktische Zentrum merklich vom zweiten und dritten Keplergesetz ab, und auch das Sonnensystem ist kein bis in alle Ewigkeit stabiles Keplersches System (wie die Überschneidung der Neptun- und Plutobahn zeigt).

Heliozentrische und fundamentale Formulierung der Gesetze

Kepler formulierte das Gesetz für die Planeten, die ihm bekannt waren. Für die Gesetze gilt aber das kosmologische Prinzip, nachdem sie überall im Universum gültig seien.

Der heliozentrische Fall unseres Sonnensystems ist aber der – für uns – weitaus bedeutendste, daher sind sie in der Literatur häufig einschränkend nur für Planeten formuliert. Sie gelten natürlich auch für Monde, den Asteroidengürtel und die Oortsche Wolke, oder die Ringe des Jupiter und Saturn, für Sternhaufen wie auch für Objekte auf der Umlaufbahn um das Zentrum einer Galaxie, und für alle anderen Objekte im Weltall. Außerdem bilden sie die Basis der Raumfahrt und der Bahnen der Satelliten.

In kosmischem Maßstab beginnen sich aber die relativistischen Effekte zunehmend auszuwirken, und die Differenzen zum Keplerschen Modell dienen primär als Prüfkriterium für modernere Konzepte über Astrophysik. Die Formungsmechanismen in Spiralgalaxien etwa lassen sich mit einem rein auf den Keplergesetzen beruhenden Modell nicht mehr stimmig nachvollziehen.

Herleitung und moderne Darstellung

Die Keplergesetze können elegant direkt aus der Newtonschen Theorie der Bewegungen abgeleitet werden. Der 2. Satz ist eine geometrische Deutung des Drehimpulssatzes^[1], der 1. Satz folgt aus der Clairautschen Gleichung^[2], die eine vollständige Lösung einer Bewegung in rotationssymetrischen Kraftfeldern beschreibt,^[3] und mittels Integration, der Keplergleichung und der Gaußschen Konstante folgt der 3. Satz aus dem zweiten,^[4] oder mittels des Hodographen direkt aus Newtons Gesetzen.^[5]

Kepler versucht mit seinen Gesetzen die Planetenbewegungen zu beschreiben. Aus den beobachteten Werten insbesondere der Marsbahn weiß er, dass er vom Ideal der Kreisbahnen abweichen muss. Anders als später Newton sind seine Gesetze daher empirisch und nicht von theoretischen Überlegungen abgeleitet. Aus heutiger Sicht können wir allerdings von der Kenntnis der Newtonschen Gravitation ausgehen und damit die Gültigkeit der Keplerschen Gesetze begründen.

Erstes Keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

Erstes Keplersches Gesetz

Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eine Ellipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt im Schwerezentrum des Systems.

Dieses Gesetz ergibt sich aus Newtons Gravitationsgesetz, sofern die Masse des Zentralkörpers wesentlich größer als die der Trabanten ist und die Wechselwirkung des Trabanten auf den Zentralkörper vernachlässigt werden kann.

Die Energie für einen Trabanten mit Masse m im Newtonschen Gravitationsfeld der Sonne mit Masse M ist

$E = E_\mathrm{kin} + E_\mathrm{pot} = \frac{1}{2} m (\dot r^2 + r^2 \dot\phi^2) - \frac{GMm}{r}$.

Mit Hilfe von L = mr²dϕ / dt und

$\frac{dr}{d\phi} = \frac{dr}{dt}\frac{dt}{d\phi}\ \Rightarrow\ \dot r = \frac{dr}{d\phi} \dot\phi$

lässt sich die Energiegleichung umformen

$\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2 = 2m \frac{r^4}{L^2} \left[ E + \frac{GMm}{r} - \frac{L^2}{2mr^2} \right]$.

Setzt man in diese Gleichung $r (\varphi) = \frac{p}{1 + e \cdot \cos \varphi}$ ein, so ergibt ein Vergleich der Koeffizienten der Potenzen von r, dass $p = \frac{L^2}{GMm^2}$ und $e = \sqrt{1 + \frac{2 E L^2}{G^2M^2m^3}}$.

Diese Lösung ist allein von spezifischer Energie und Bahndrehimpuls abhängig. Der Parameter p und die (numerische) Exzentrizität e sind die Gestaltelemente der Bahn. Für den Fall $0 < e < 1\, (E < 0)$ gilt:

$r (\varphi) \in \mathrm{Ellipse}$ … 1. Keplergesetz

Das ist die Lösung, die der erste Keplersche Satz anbietet. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung sind Kegelschnitte, die Keplerbahnen. Dies sind im Falle geschlossener Bahnen Ellipsen. Ein Körper, der nicht gravitativ an das Schwerezentrum gebunden ist, also eine zu hohe Geschwindigkeit besitzt, um eine geschlossene Bahn zu bilden, durchläuft das Feld auf einer parabolischen oder hyperbolischen Bahn ($E = 0,\,e = 1$ → Parabel, $E > 0,\,e > 1$ → Hyperbel). Als Sonderfall existiert noch eine Lösung für $\mathbf L = 0; e =0$, in der die Masse auf einer Geraden auf das Zentrum zustürzt.

Für 1 / r²-Kräfte gibt es noch eine Erhaltungsgröße, die für die Richtung der Ellipsenbahn entscheidend ist, den Runge-Lenz-Vektor, der entlang der Hauptachse zeigt. Kleine Änderungen im Kraftfeld (üblicherweise durch die Einflüsse der anderen Planeten) lassen diesen Vektor langsam seine Richtung ändern, wodurch z. B. die Periheldrehung der Merkurbahn erklärt werden kann.

Obwohl die Keplerschen Gesetze ursprünglich nur für die Gravitationskraft formuliert wurden, so gilt die Lösung oben auch für die Coulombkraft. Für sich abstoßende Ladungen ist das effektive Potential dann stets positiv und man erhält nur Hyperbelbahnen.

Zwei Körper kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt – hier idealisierte Kreisbahnen, als Spezialform der Ellipse

Die Bahn beschreibt eine Ellipse mit den Brennpunkten (0,0) und $\left( - \frac{2ep}{1- e^2}, 0 \right)$, der numerischen Exzentrizität e und einer großen Halbachse $a = - \frac {A}{2 E_\text{m}}$, die Hauptscheitel liegen in $\left(0,\frac {p}{1+e} \right)$ (Perizentrum, Perizentrumsdistanz r_min) und $\left(0,-\frac {p}{1-e} \right)$ (Apozentrum, Apozentrumsdistanz r_max).
Das Gesetz trifft also eine Aussage über die geometrische Form einer Bahn und dient zur Festlegung ihrer Gestaltelemente (Halbachse/Exzentrizität).

Legt man (anders als Kepler) kein zentralsymmetrisches Kraftfeld zugrunde, sondern aufeinanderwirkende Gravitation, bilden sich ebenfalls Ellipsenbahnen, es bewegen sich aber beide Körper, das Zentrum der Umlaufbahnen ist der gemeinsame Schwerpunkt von „Zentralkörper“ und Trabant, als fiktive Zentralmasse ist die Gesamtmasse des Systems anzunehmen. Der gemeinsame Schwerpunkt der Sonnensystemplaneten und der Sonne (das Baryzentrum des Sonnensystems) liegt jedoch noch innerhalb der Sonne: Die Sonne steht nicht fest in Bezug auf das Sonnensystem, sondern schwingt ein klein wenig unter dem Einfluss der umlaufenden Planeten (Länge der Sonne ≠ 0). Das Erde-Mond-System aber zeigt große Schwankungen, was die Bahngeometrie betrifft, auch hier liegt der Systemschwerpunkt noch innerhalb der Erde. Satelliten reagieren sogar auf Schwankungen im durch die Erdgestalt unregelmäßigen Kraftfeld.

Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz)

Zweites Keplersches Gesetz

In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl Objekt–Schwerezentrum gleiche Flächen.

Unter dem Fahrstrahl versteht man die Verbindungslinie zwischen dem Schwerpunkt eines Himmelskörpers, z. B. eines Planeten oder Mondes, und dem Gravizentrum, z. B. in erster Näherung der Sonne respektive des Planeten, um welches er sich bewegt.

Illustration zur Herleitung des Flächensatzes aus einem kleinen Zeitschritt

Eine einfache Herleitung ergibt sich, wenn man die Flächen betrachtet, die der Fahrstrahl in einem kleinen Zeitabschnitt zurücklegt. In der Graphik rechts sei Z das Kraftzentrum. Der Trabant bewegt sich zunächst von A nach B. Würde sich seine Geschwindigkeit nicht ändern, so würde er sich im nächsten Zeitschritt von B nach C bewegen. Es ist dabei schnell ersichtlich, dass die beiden Dreiecke ZAB und ZBC die gleiche Fläche beinhalten. Wirkt nun eine Kraft in Richtung Z, so wird die Geschwindigkeit v um ein Δv abgelenkt, das parallel zur gemeinsamen Basis ZB der beiden Dreiecke ist. Statt bei C landet der Trabant also bei C' . Da die beiden Dreiecke ZBC und ZBC' dieselbe Basis und die gleiche Höhe haben, ist auch ihre Fläche gleich. Damit gilt der Flächensatz für die beiden kleinen Zeitabschnitte [ − Δt,0] und [0,Δt]. Integriert man derartige kleine Zeitschritte (mit infinitesimalen Zeitschritten Δt), so erhält man den Flächensatz.

Die überstrichene Fläche ist für einen infinitesimalen Zeitschritt

$F(t, t+\operatorname{d} t) = 1/2 |\mathbf{r}(t) \times \mathbf{\dot r} (t)\operatorname{d} t| = \frac{L}{2m} \operatorname{d} t$.

Da für eine Zentralkraft der Drehimpuls wegen

$\mathbf{\dot L} = m (\mathbf{\dot r} \times \mathbf{\dot r} + \mathbf r \times \mathbf{\ddot r}) = m\mathbf r \times \mathbf{\ddot r} = m\mathbf r \times f(r)\mathbf r = 0$

konstant ist, ist das Flächenintegral somit gerade

$F(t_0, t) = \frac{1}{2} \int_{t_0}^t |\mathbf r (\tau) \times \mathbf{\dot r} (\tau) | \operatorname{d} \tau = \frac{1}{2}\frac{L}{m} \int_{t_0}^t \operatorname{d} \tau = \frac{1}{2}\frac{L}{m} (t-t_0)$.

Für gleiche Zeitdifferenzen t − t₀ ergibt sich also die gleiche überstrichene Fläche.

Das zweite Keplergesetz definiert also sowohl die geometrische Grundlage einer astrometrischen Bahn (als Bahn in einer Ebene), als auch deren Bahndynamik (das zeitliche Verhalten). Kepler formulierte das Gesetz nur für den Umlauf der Planeten um die Sonne, es gilt aber auch auf nicht geschlossenen Bahnen. Das zweite Keplersche Gesetz ist im Gegensatz zu den anderen beiden Gesetzen nicht auf die 1 / r²-Kraft der Gravitation beschränkt (tatsächlich ging Kepler mit seiner Anima motrix auch von einer 1 / r-Kraft aus), sondern gilt allgemein für alle Zentralkräfte. Kepler war lediglich an einer Beschreibung der Planetenbahnen interessiert, doch ist das zweite Gesetz bereits die erste Formulierung des Gesetzes, das wir heute als Drehimpulserhaltung kennen. Der zweite Keplersatz kann als spezielle Formulierung des Drehimpulssatzes gesehen werden.

Das zweite Keplergesetz hat zwei grundlegende Folgen auch für die Bewegungsverhältnisse in Mehrkörpersystemen, sowohl für Sonnensysteme, als auch für die Raumfahrt:
Die Konstanz des Bahnnormalenvektors besagt, dass elementare Himmelsmechanik ein ebenes Problem ist. Tatsächlich ergeben sich auch hier Abweichungen durch die Volumina der Himmelskörper, sodass Masse außerhalb der Bahnebene liegt, und die Bahnebenen präzedieren (ihre Lage im Raum verändern). Daher liegen die Bahnen der Planeten nicht alle in einer Ebene (der idealen Sonnensystemebene, der Ekliptik), sie zeigen vielmehr eine Inklination und auch Periheldrehung, zudem schwankt auch die ekliptikale Breite der Sonne. Umgekehrt ist es verhältnismäßig leicht, einen Raumflugkörper in der Sonnensystemebene zu bewegen, aber enorm aufwändig, etwa eine Sonde über dem Nordpol der Sonne zu platzieren.

Die Konstanz der Flächengeschwindigkeit besagt, dass von einer gedachten Verbindungslinie zwischen dem Zentralkörper, genauer dem Schwerpunkt der beiden Himmelskörper, und einem Trabanten in gleichen Zeiten stets die gleiche Fläche überstrichen wird. Ein Körper bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an seinem Schwerezentrum befindet und umso langsamer, je weiter er davon entfernt ist. Dies gilt beispielsweise für den Lauf der Erde um die Sonne wie auch für den Lauf des Mondes oder eines Satelliten um die Erde. Eine Bahn stellt sich als dauerndes freies Fallen, nahes Vorbeischwingen um den Schwerpunkt, und Wiederaufsteigen zum fernsten Kulminationspunkt der Bahn dar: Der Körper wird immer schneller, hat im Perizentrum (zentrumsnächsten Punkt) die höchste Geschwindigkeit und wird ab dann immer langsamer bis zum Apozentrum (zentrumsfernsten Punkt), von dem aus er wieder beschleunigt. So gesehen ist die Keplerellipse ein Spezialfall des schiefen Wurfs, der sich in seiner Bahn schließt. Diese Überlegung spielt in der Raumfahrtphysik eine zentrale Rolle, wo es darum geht, mit einem passend gewählten Anfangsimpuls (durch den Start) eine geeignete Umlaufbahn zu erzeugen: Je kreisförmiger die Bahn, desto gleichmäßiger die Umlaufgeschwindigkeit.

Drittes Keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten T₁ und T₂ je zweier Trabanten um ein gemeinsames Zentrum sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen a₁ und a₂ ihrer Ellipsenbahnen.

oder

Die Quadrate der Umlaufzeiten stehen im gleichen Verhältnis wie die Kuben der großen Halbachsen:

$\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^3$ … 3. Keplergesetz

Kepler verwendete für die Bahnachsen a die mittlere Entfernung von der Sonne (im Sinne des Mittels von Periheldistanz und Apheldistanz).

$C = \frac{T^2}{a^3}$ … 3. Keplergesetz, massenunabhängige Formulierung mit Kepler-Konstante der Zentralmasse (Gaußsche Gravitationskonstante des Sonnensystems)

In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhält das dritte Keplersche Gesetz für die Bewegung zweier Massen M und m die Form:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)} \cdot a^3 \approx \frac{4\pi^2}{GM} \cdot a^3$ … 3. Keplergesetz, Formulierung mit zwei Massen

wobei die Näherung gilt, wenn die Masse m vernachlässigbar klein im Vergleich zu M ist (etwa im Sonnensystem). Durch diese Form kann man etwa die Gesamtmasse von Doppelsternsystemen aus der Messung der Umlaufdauer und des Abstandes bestimmen.

Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Himmelskörper und obige Formel, so lautet eine exaktere Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes:

$\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^3 \frac{M+m_2}{M+m_1}$ … 3. Keplergesetz, Formulierung mit drei Massen

Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Trabanten sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralobjekt eine Masse M hat, die von der eines der beiden Trabanten nicht stark abweicht.

Das dritte Keplersche Gesetz gilt dabei für alle Kräfte, die quadratisch mit dem Abstand abnehmen, wie man durch leicht aus der Skalenbetrachtung herleiten kann. In der Gleichung

$m \frac{d^2r}{(dt)^2} = \frac{GMm}{r^2}$

taucht r in der dritten Potenz, und t quadratisch auf. Unter einer Skalentransformation r' = αr,t' = βt erhält man somit dieselbe Gleichung wenn α² = β³ ist. Andererseits ist dadurch schnell erkennbar, dass das Analogon des dritten Keplerschen Gesetzes für geschlossene Bahnen in einem 1 / r^k-Kraftfeld für beliebiges k gerade (a₁ / a₂)^{k + 1} = (T₁ / T₂)² lautet.^[6]

Siehe auch

• Ekliptik („Bahn der Sonne“), Erdbahn, Mondbahn
• Hohmannbahn, die Verbindungsbahn zweier Keplerbahnen der Raumfahrt

Literatur

• Johannes Kepler: Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis. In: Max Caspar (Hrsg.): Gesammelte Werke. Band 3, C. H. Beck, München 1938.
• Johannes Kepler: Harmonices Mundi libri V. In: Max Caspar (Hrsg.): Gesammelte Werke. Band 6, C. H. Beck, München 1940/1990, ISBN 3-406-01648-0.
• Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verlag, Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4.

Weblinks

 Commons: Keplersche Gesetze – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Walter Fendt: Erstes Keplersches Gesetz, Zweites Keplersches Gesetz (Java-Applets)
• Weltbilder – Kepler Gesetze (LEIFI)
• Joachim Hoffmüller: Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz): Beweis mit dynamischen Arbeitsblättern selbst nachvollziehen Geometrisch-anschaulicher Beweis nach Newton, ohne höhere Mathematik (Java-Applet)

Einzelnachweise

1. ↑ Guthmann, §II.1.26 Der Flächensatz, S. 66 f
2. ↑ Guthmann, §II.2.37 Lösung der Clairotschen Gleichung: Der Fall e<1, S. 81 f
3. ↑ Guthmann, §II.1 Ein- und Zweikörperproblem. Einführung, S. 64 f; und 30. Die Clairotsche Gleichung, S. 71 ff
4. ↑ Guthmann, §II.5 Bahndynamik des Keplerproblems, S. 108 ff
5. ↑ David L. Goodstein, Judith R. Goodstein: Feynmans verschollene Vorlesung: Die Bewegung der Planeten um die Sonne, Piper Verlag GmbH, München 1998
6. ↑ J. Wess: Theoretische Mechanik, Springer. Kapitel über das Zweikörperproblem.