- Höldersche Ungleichung
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In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung, benannt nach Otto Hölder, zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume.
Inhaltsverzeichnis
Formulierung
Sei S ein Maßraum,
mit
, sei f aus Lp(S) und g aus Lq(S). Dann ist fg aus L1(S) und
.
Man bezeichnet q als den zu p konjugierten Hölder-Exponenten.
Beweis
Da die Aussage für
(und umgekehrt) trivial ist, sei
. Ohne Einschränkung seien
und
. Nach der youngschen Ungleichung gilt
für alle
. Setze hierin speziell
ein. Integration liefert
welches die höldersche Ungleichung impliziert.
Spezialfälle
Sei S die Menge
, ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung
gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen
. Ist S die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß, erhält man eine ähnliche Ungleichung für unendliche Reihen.
Für p = q = 2 erhält man als Spezialfall die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
Verallgemeinerung
Es seien
sowie
und
für alle
. Dann folgt
, und es gilt die Abschätzung
Beweis
Der Beweis wird per vollständiger Induktion über m geführt. m = 1 ist trivial. Sei also nun
und ohne Einschränkung
. Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:
Fall 1:
Dann ist
Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann
Fall 2:
. Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten
gilt
also
. Nun ist
. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.
Anwendungen
- Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im Lp) leicht beweisen.
- Seien
und
. Dann folgt
, und es gilt die Interpolationsungleichung
mit
Beweis: Ohne Einschränkung sei q < r < p. Fixiere
mit
. Beachte, dass
und
konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt
Potenzieren der Ungleichung mit
und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.
- Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)
für
und
.
- Es gilt die folgende umgekehrte höldersche Ungleichung
für alle r > 1,
falls
für fast alle
gilt und S keine Nullmenge ist.
Beweis: Wegen der (üblichen) hölderschen Ungleichung mit den Exponenten r und
gilt
Umformen dieser Ungleichung liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.
Literatur
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
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