Höldersche Ungleichung

In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung, benannt nach Otto Hölder, zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für L^p-Räume.

Formulierung

Sei S ein Maßraum, $1 \leq p, q \leq \infty$ mit $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, sei f aus L^p(S) und g aus L^q(S). Dann ist fg aus L¹(S) und

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q$.

Man bezeichnet q als den zu p konjugierten Hölder-Exponenten.

Beweis

Da die Aussage für $p=1, q=\infty$ (und umgekehrt) trivial ist, sei $1 < p,q < \infty$. Ohne Einschränkung seien $\|f\|_p > 0$ und $\|g\|_q > 0$. Nach der youngschen Ungleichung gilt

$AB \leq \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}$

für alle $A,B \geq 0$. Setze hierin speziell $A := \frac{|f(x)|}{\|f\|_p}, B := \frac{|g(x)|}{\|g\|_q}$ ein. Integration liefert

$\frac{1}{\|f\|_p\|g\|_q}\int_S|fg| \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,$

welches die höldersche Ungleichung impliziert.

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Spezialfälle

Sei S die Menge $\{1,\ldots,n \}$, ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q} ,$

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen $x_1, \ldots, x_n, y_1 , \ldots , y_n$. Ist S die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß, erhält man eine ähnliche Ungleichung für unendliche Reihen.

Für p = q = 2 erhält man als Spezialfall die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Verallgemeinerung

Es seien $p_j \in [1, \infty], j = 1, \ldots, m$ sowie $\frac{1}{r} := \sum_{j=1}^m\frac{1}{p_j}$ und $f_j \in L_{p_j}(S)$ für alle $j =1,\ldots,m$. Dann folgt $\prod_{j=1}^mf_j \in L_r(S)$, und es gilt die Abschätzung

$\|\prod_{j=1}^mf_j\|_r \leq \prod_{j=1}^m\|f_j\|_{p_j}.$

Beweis

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über m geführt. m = 1 ist trivial. Sei also nun $m \geq 2$ und ohne Einschränkung $p_1 \leq \cdots \leq p_m$. Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: $p_m = \infty.$ Dann ist $\frac{1}{r} = \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j}.$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

$\|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_m\|_\infty\|f_1\cdots f_{m-1}\|_r \leq \|f_m\|_\infty\|f_1\|_{p_1}\cdots\|f_{m-1}\|_{p_{m-1}}.$

Fall 2: $p_m < \infty$. Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten $\frac{p_m}{p_m-r}, \frac{p_m}{r}$ gilt

$\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^r|f_m|^r \leq (\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^{\frac{rp_m}{p_m-r}})^{\frac{p_m-r}{p_m}}(\int_S|f_m|^{p_m})^{\frac{r}{p_m}},$

also $\|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_1\cdots f_{m-1}\|_{\frac{rp_m}{p_m-r}}\|f_m\|_{p_m}$. Nun ist $\sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j} = \frac{1}{r} - \frac{1}{p_m} = \frac{p_m-r}{rp_m}$. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

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Anwendungen

• Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im L^p) leicht beweisen.

• Seien $f \in L_p(S) \cap L_q(S)$ und $1 \leq q \leq r \leq p$. Dann folgt $f \in L_r(S)$, und es gilt die Interpolationsungleichung

$\|f\|_r \leq \|f\|_p^{1-\theta}\|f\|_q^\theta$ mit $\frac{1}{r} =: \frac{1-\theta}{p} + \frac{\theta}{q}.$

Beweis: Ohne Einschränkung sei q < r < p. Fixiere $\vartheta \in (0, 1)$ mit $r = \vartheta p + (1-\vartheta) q$. Beachte, dass $\frac{1}{\vartheta}$ und $\frac{1}{1-\vartheta}$ konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt

$\int_S|f|^r = \int_S|f|^{\vartheta p}|f|^{(1-\vartheta)q} \leq (\int_S|f|^p)^\vartheta(\int_S|f|^q)^{1-\vartheta} .$

Potenzieren der Ungleichung mit $\frac{1}{r}$ und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

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• Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

$\|f \star g\|_r \leq \|f\|_p\|g\|_q$ für $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{r}$ und $p, q, r \geq 1$.

• Es gilt die folgende umgekehrte höldersche Ungleichung

$\int_S|fg| \geq (\int_S|f|^{\frac{1}{r}})^r(\int_S|g|^{-\frac{1}{r-1}})^{-(r-1)}$ für alle r > 1,

falls $g(x) \neq 0$ für fast alle $x \in S$ gilt und S keine Nullmenge ist.

Beweis: Wegen der (üblichen) hölderschen Ungleichung mit den Exponenten r und $r' := \frac{r}{r-1}$ gilt

$\int_S|f|^{\frac{1}{r}} = \int_S(|fg|^{\frac{1}{r}}\cdot|g|^{-\frac{1}{r}}) \leq (\int_S|fg|)^{\frac{1}{r}}(\int_S|g|^{-\frac{r'}{r}})^{\frac{1}{r'}}.$

Umformen dieser Ungleichung liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.

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Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.