Minkowski-Ungleichung

Die Minkowski-Ungleichung (nach Hermann Minkowski) ist eine Aussage der Funktionalanalysis. Sie besagt, dass die Dreiecksungleichung in den L^p-Räumen gilt.

Formulierung

Sei S ein Maßraum, $1 \leq p \leq \infty$ sowie $f, g \in L^p(S)$. Dann folgt $f + g \in L^p(S)$, und es gilt

$\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p ,$

wobei die Gleichheit im Fall $1 < p < \infty$ genau dann vorliegt, wenn f und g positiv linear abhängig sind (d.h. es gibt $\lambda\ge0$ mit $f=\lambda\,g$ oder $g=\lambda\,f$).

Beweis

Die Minkowski-Ungleichung ist für p = 1 und $p = \infty$ trivial. Es sei daher $1 < p < \infty$. Da $x \mapsto |x|^p$ eine konvexe Funktion ist, gilt

$|f+g|^p = 2^p \cdot |\frac{1}{2}\, f + \frac{1}{2}\, g|^p \leq 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p)$

und daher $f+g \in L^p(S)$.

Sei im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\|f+g\|_p > 0$. Es gilt:

$\begin{array}{lll} |f+g|^p&=&(|f+g|)(|f+g|)^{p-1}\\ &\leq&(|f|+|g|)(|f+g|)^{p-1}\\ &=&\left(|f|\cdot|f+g|^{p-1}\right) + \left(|g|\cdot|f+g|^{p-1}\right)\\ \end{array}$

Sei $q:= \tfrac{p}{p - 1}$. Dann ist q der zu p konjugierte Hölder-Exponent, es gilt: $\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q}=1$

Nach der Hölder-Ungleichung gilt:

$\begin{array}{lll} \| f+g \|_{p}^{p} = \int_S|f+g|^p &\leq&\int_S\left(|f|\cdot|f+g|^{p-1}\right) + \int_S\left(|g|\cdot|f+g|^{p-1}\right)\\ &\leq&\|f\|_p\cdot\||f+g|^{p-1}\|_q + \|g\|_p\cdot\||f+g|^{p-1}\|_q\\ &=&(\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\||f+g|^{p-1}\|_{q}\\ &=&(\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\left(\int_S |f+g|^{(p-1)\cdot \frac{p}{p - 1}}\right)^{1 - \frac{1}{p}}\\ &=&(\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\frac{\int_S |f+g|^{p}}{\left(\int_S |f+g|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}}\\ &=&(\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\frac{\| f+g \|_{p}^{p}}{\| f+g \|_{p}},\\ \end{array}$

Dies impliziert die Minkowski-Ungleichung nach Multiplikation beider Seiten mit $\tfrac{\| f+g \|_{p}}{\| f+g \|_{p}^{p}}$.

Spezialfall

Wie die höldersche Ungleichung kann auch die Minkowski-Ungleichung auf Folgen spezialisiert werden, indem man das Zählmaß verwendet:

$\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}$

für alle reellen (oder komplexen) Zahlen $x_1, \ldots , x_n$, $y_1, \ldots, y_n$.

Verallgemeinerung (Minkowski-Ungleichung für Integrale)

Seien (S₁,μ₁) und (S₂,μ₂) zwei Messräume und $F: S_1 \times S_2 \to \mathbb K$ eine messbare Funktion, dann gilt (Minkowski-Ungleichung für Integrale):

$\left[\int_{S_2}\left(\int_{S_1}|F(x,y)|\,d\mu_1(x)\right)^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \le \int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x),$

für $p < \infty$. Ist $1 < p < \infty$ und beide Seiten endlich, so gilt Gleichheit genau dann, wenn sich | F | als Produkt | F | (x,y) = φ(x)ψ(y) zweier messbarer Funktionen $\phi: S_1 \to [0,\infty)$ und $\psi: S_2 \to [0,\infty)$ schreiben lässt.

Wählen wir (S₁,μ₁) als die zwei-elementige Menge {1,2} mit dem zählenden Maß, so erhalten wir als Spezialfall wieder die übliche Minkowski-Ungleichung, mit $f_i = F(i, \,\cdot\,)$ für i = 1,2 ist nämlich

$\begin{align} \|f_1 + f_2\|_p &= \left[\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\,d\mu_1(x)\right|^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \\ &\le\int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x)\\ &=\|f_1\|_p + \|f_2\|_p. \end{align}$

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001, ISBN 3-7643-6613-3