- Minkowski-Ungleichung
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Die Minkowski-Ungleichung (nach Hermann Minkowski) ist eine Aussage der Funktionalanalysis. Sie besagt, dass die Dreiecksungleichung in den Lp-Räumen gilt.
Inhaltsverzeichnis
Formulierung
Sei S ein Maßraum,
sowie
. Dann folgt
, und es gilt
wobei die Gleichheit im Fall
genau dann vorliegt, wenn f und g positiv linear abhängig sind (d.h. es gibt
mit
oder
).
Beweis
Die Minkowski-Ungleichung ist für p = 1 und
trivial. Es sei daher
. Da
eine konvexe Funktion ist, gilt
und daher
.
Sei im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit
0" border="0">. Es gilt:
Sei
. Dann ist q der zu p konjugierte Hölder-Exponent, es gilt:
Nach der Hölder-Ungleichung gilt:
Dies impliziert die Minkowski-Ungleichung nach Multiplikation beider Seiten mit
.
Spezialfall
Wie die höldersche Ungleichung kann auch die Minkowski-Ungleichung auf Folgen spezialisiert werden, indem man das Zählmaß verwendet:
für alle reellen (oder komplexen) Zahlen
,
.
Verallgemeinerung (Minkowski-Ungleichung für Integrale)
Seien (S1,μ1) und (S2,μ2) zwei Messräume und
eine messbare Funktion, dann gilt (Minkowski-Ungleichung für Integrale):
für
. Ist
und beide Seiten endlich, so gilt Gleichheit genau dann, wenn sich | F | als Produkt | F | (x,y) = φ(x)ψ(y) zweier messbarer Funktionen
und
schreiben lässt.
Wählen wir (S1,μ1) als die zwei-elementige Menge {1,2} mit dem zählenden Maß, so erhalten wir als Spezialfall wieder die übliche Minkowski-Ungleichung, mit
für i = 1,2 ist nämlich
Literatur
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001, ISBN 3-7643-6613-3
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