Infinitesimaler Operator

Der infinitesimale Generator eines zeithomogenen Markow-Prozess in stetiger Zeit mit nicht unbedingt abzählbarem Zustandsraum ist ein Operator, welcher das stochastische Verhalten des Prozesses in infinitesimaler Zeit erfasst. Er ist in gewisser Hinsicht eine Form der Ableitung der Übergangswahrscheinlichkeiten P_t(x,A) nach der Zeit und eine Verallgemeinerung der Q-Matrix eines zeithomogenen Markow-Prozesses in stetiger Zeit mit abzählbarem Zustandsraum. Aufgrund der Markow-Eigenschaft und der zeitlichen Homogenität wird der Prozess unter bestimmten Voraussetzungen durch seinen infinitesimalen Generator bestimmt oder, in anderer Sprechweise, generiert.

Definition nach Breiman

Gegeben ein zeithomogener Markow-Prozess $(X_{t})_{t \in [0,\infty)}$ auf dem Zustandsraum $(E, \mathfrak E)$, dann ist der Generator A von (X_t) für beschränktes, borelmessbares $f:E\rightarrow \R$ punktweise definiert über

$A f(x)=\lim_{t\to0}\frac{E_x[f(X_t)]-f(x)}{t},\ x\in E,$

sofern der Grenzwert für alle $x \in E$ existiert. Die Menge der Funktionen, für die der Grenzwert existiert, ist der Definitionsbereich von A und wird mit $\mathcal D(A)$ bezeichnet.

Generatoren von Feller-Prozessen

Feller-Prozesse sind Markow-Prozesse, bei denen die Übergangswahrscheinlichkeiten P_t(x,A) qua $(T_t f)(x) := \int P_t(x, dy) f(y) = E_x f(X_t)$ einer stark stetigen Halbgruppe auf dem Raum C₀(E) der stetigen, im Unendlichen verschwindenden Funktionen entsprechen. In diesem Fall kann der Generator der entsprechenden Halbgruppe

$S f=\underset{t\to0}{\operatorname{s-lim}} \frac {Tf - f}t$

(definiert für alle $f \in C_0(E)$ für die der Grenzwert bezüglich der Supremumsnorm existiert) betrachtet und der Satz von Hille-Yosida angewendet werden.

Dynkins charakteristischer Operator

Der charakteristische Operator ist eine probabilistische Entsprechung des analytischen Generators S, mit dem oft leichter zu arbeiten ist.^[1] Während in obiger Definition der Erwartungswert von f(X_t) zu einem festen Zeitpunkt t gebildet wird (und anschließend t gegen 0 geht), wird hier der Erwartungswert von f(X_τ) an den unterschiedlichen (zufälligen) Zeitpunkten τ = τ(B) gebildet, zu denen der Prozess einen festgelegten räumlichen Bereich B, zum Beispiel eine Kugel B_ν,x um x = X₀ mit Radius ν, verlässt. Für nicht absorbierendes x setzt man

$(U f) (x) := \lim_{\nu\to0} \frac{E_x [f(X_{\tau(B_{\nu,x})})] - f(x)}{E_x[\tau(B_{\nu,x})]},$

für absorbierendes x man (Uf)(x) = 0. Für große Klasse von Feller-Prozessen gilt Af = Uf für stetige, im Unendlichen verschwindende Funktionen f aufgrund von Dynkins Maximum-Prinzip.

Die Definition und der genannte Zusammenhang gehen auf eine Arbeit von E. B. Dynkin aus dem Jahr 1955 zurück. ^[2]

Literatur

• Leo Breiman: Probability. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, 1968.
• Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, Springer Berlin 2003, ISBN 3-540-04758-1
• Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer 2001, ISBN 3-540-64325-7

Einzelnachweise

1. ↑ Breiman, S. 377.
2. ↑ E. B. Dynkin: Infinitesimal operators of Markov stochastic processes, Doklady Akademii Nauk Nr. 105, 1955, S. 206-209.