Übergangswahrscheinlichkeit

In der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreiben Übergangswahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeiten, vom Zustand i (in einer Menge Ω) zu einem aktuellen Beobachtungszeitpunkt in bestimmte andere Zustände j (in einer Menge Ω') überzugehen.

Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall gibt man die Wahrscheinlichkeiten π(x;A) an, mit denen man von einem Zustand x zu einem beliebigen Ereignis A gelangt. Dazu seien $(\Omega, \mathcal A)$ und $(\Omega', \mathcal A')$ Messräume. Eine Abbildung $\pi : \Omega \times \mathcal A' \to [0,1]$ heißt stochastischer Kern oder Markow-Kern von $(\Omega, \mathcal A)$ nach $(\Omega', \mathcal A')$, wenn gilt:

• Für jedes $x \in \Omega$ ist $\pi(x; \;\cdot\;)$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega', \mathcal A')$.
• Für jedes $A \in \mathcal A'$ ist $\pi(\;\cdot\;; A)$ eine $\mathcal A$-messbare Funktion.

Jedem Wahrscheinlichkeitsmaß P auf $(\Omega, \mathcal A)$ ordnet π durch die Zuordnung $A \mapsto \int_\Omega \pi(x; A)P(dx)$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega', \mathcal A')$ zu.

Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden die Argumente von π in umgekehrter Reihenfolge geschrieben, π(A;x) oder auch π(A | x), in Anlehnung an bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Diskreter Fall

Im diskreten Fall, wo Ω und Ω' endliche oder abzählbare Mengen sind, genügt es die Wahrscheinlichkeiten π_i,j anzugeben, mit denen man vom Zustand i in den Zustand j gelangt. Diese Wahrscheinlichkeiten bilden eine Matrix $\pi = (\pi_{i,j})_{i\in\Omega, j\in\Omega'}$, die die Eigenschaft hat, dass alle Elemente zwischen 0 und 1 liegen und dass die Zeilensummen $\sum_{j\in\Omega'} \pi_{i,j}$ den Wert 1 haben. Eine solche Matrix wird als stochastische Matrix bezeichnet. Sie ordnet jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω mit einer Zähldichte $\rho=(\rho_i)_{i\in\Omega}$ eine Zähldichte $\rho\pi = (\sum_{i\in\Omega} \rho_i \pi_{i,j})_{j\in\Omega'}$ in Ω' zu.

Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden Zeilen und Spalten der Matrix umgekehrt verwendet.

Darstellung als Daniell-stetige Abbildungen und Komposition

Jedem Markow-Kern K von $(\Omega,\mathcal A)$ nach $(\Omega,\mathcal A)$ ist auf dem Raum der numerischen, nichtnegativen Funktionen E ^* über

$(T f) (\omega) := \int f(\omega) K(\omega, d\omega)$

eine Abbildung T mit folgenden Eigenschaften zugeordnet:

1. $f \ge 0 \Rightarrow T f \ge 0$ für jedes $f \in E^*$ (Positivität),
2. $f_n \uparrow f \Rightarrow T f_n \uparrow f$ für jede isotone Folge (f_n) in E ^* (Daniell-Stetigkeit, nach Percy John Daniell),
3. T(f + g) = Tf + Tg (Additivität).

Zu jeder Abbildung T mit diesen Eigenschaften gibt es wiederum genau einen Kern, für den T die so gebildete Abbildung darstellt.

Aus der Komposition dieser Abbildungen $T_1 \circ T_2$ kann eine Definition Komposition der zugehörigen Kerne hergeleitet werden:

$K_1 K_2 (\omega, A) = \int K_1 (\omega, \rm{d}\omega') K_2 (\omega', A)$.

Spezielle Anwendungen

Sie finden in der Bioinformatik eine breite Anwendung bei der Modellbildung unter Zuhilfenahme von Markow- und Hidden-Markow-Modellen. In der Quantenphysik werden oft Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen quantenmechanischen Zuständen untersucht.

Literatur

• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3110172364.