- Übergangswahrscheinlichkeit
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In der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreiben Übergangswahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeiten, vom Zustand i (in einer Menge Ω) zu einem aktuellen Beobachtungszeitpunkt in bestimmte andere Zustände j (in einer Menge Ω') überzugehen.
Inhaltsverzeichnis
Allgemeiner Fall
Im allgemeinen Fall gibt man die Wahrscheinlichkeiten π(x;A) an, mit denen man von einem Zustand x zu einem beliebigen Ereignis A gelangt. Dazu seien
und
Messräume. Eine Abbildung
heißt stochastischer Kern oder Markow-Kern von
nach
, wenn gilt:
- Für jedes
ist
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf
.
- Für jedes
ist
eine
-messbare Funktion.
Jedem Wahrscheinlichkeitsmaß P auf
ordnet π durch die Zuordnung
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf
zu.
Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden die Argumente von π in umgekehrter Reihenfolge geschrieben, π(A;x) oder auch π(A | x), in Anlehnung an bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Diskreter Fall
Im diskreten Fall, wo Ω und Ω' endliche oder abzählbare Mengen sind, genügt es die Wahrscheinlichkeiten πi,j anzugeben, mit denen man vom Zustand i in den Zustand j gelangt. Diese Wahrscheinlichkeiten bilden eine Matrix
, die die Eigenschaft hat, dass alle Elemente zwischen 0 und 1 liegen und dass die Zeilensummen
den Wert 1 haben. Eine solche Matrix wird als stochastische Matrix bezeichnet. Sie ordnet jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω mit einer Zähldichte
eine Zähldichte
in Ω' zu.
Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden Zeilen und Spalten der Matrix umgekehrt verwendet.
Darstellung als Daniell-stetige Abbildungen und Komposition
Jedem Markow-Kern K von
nach
ist auf dem Raum der numerischen, nichtnegativen Funktionen E * über
eine Abbildung T mit folgenden Eigenschaften zugeordnet:
für jedes
(Positivität),
für jede isotone Folge (fn) in E * (Daniell-Stetigkeit, nach Percy John Daniell),
- T(f + g) = Tf + Tg (Additivität).
Zu jeder Abbildung T mit diesen Eigenschaften gibt es wiederum genau einen Kern, für den T die so gebildete Abbildung darstellt.
Aus der Komposition dieser Abbildungen
kann eine Definition Komposition der zugehörigen Kerne hergeleitet werden:
.
Spezielle Anwendungen
Sie finden in der Bioinformatik eine breite Anwendung bei der Modellbildung unter Zuhilfenahme von Markow- und Hidden-Markow-Modellen. In der Quantenphysik werden oft Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen quantenmechanischen Zuständen untersucht.
Literatur
- Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3110172364.
- Für jedes
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