Isometrische Isomorphie

Isometrische Isomorphie beschreibt in der Funktionalanalysis einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.

Definition

Zwei normierte Räume $(X,\Vert \cdot\Vert_X)$ und $(Y,\Vert \cdot\Vert_Y)$ sind isometrisch isomorph, wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus $T: X \rightarrow Y$ existiert, der gleichzeitig eine Isometrie ist, also $\Vert T x \Vert_Y = \Vert x \Vert_X$ erfüllt.

Dies bedeutet, dass man die Räume eineindeutig miteinander identifizieren und Längenmessungen im einen auf den anderen übertragen kann. Der Operator T übernimmt die Identifizierung von Elementen aus X mit Elementen aus Y. Die Isometrie von T sichert die Normerhaltung bei diesem Wechsel. Offenbar ist die Umkehrung T ^{− 1} wieder eine isometrische Isomorphie.

Beispiele

• Jeder separable unendlich-dimensionale Hilbertraum ist isometrisch isomorph zum Raum $\ell^2$ aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.
• Jeder normierte Vektorraum ist isometrisch isomorph zu einem Untervektorraum des Raumes $(C(K),\Vert \cdot\Vert_\infty)$ für einen geeignet gewählten kompakten topologischen Raum K.
• Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable, normierte Raum isometrisch isomorph zu einem Unterraum von C([0,1]).

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7