Köthe-Raum

Ein Folgenraum ist ein in der Mathematik betrachteter Raum, dessen Punkte Zahlenfolgen sind. Viele in der Funktionalanalysis auftretende Vektorräume sind Folgenräume oder können durch solche repräsentiert werden. Zu den Beispielen zählen u.a. die wichtigen Räume wie $\ell^\infty$ aller beschränkten Folgen oder c₀ aller gegen 0 konvergenten Folgen. Die Folgenräume bieten vielfältige Möglichkeiten zur Konstruktion von Beispielen und können daher auch als eine Spielwiese für Funktionalanalytiker betrachtet werden.

Einführung

Mit ω wird der Vektorraum aller Folgen in $\mathbb K$ (= $\mathbb R$ oder $\mathbb C$) bezeichnet. Folgen können komponentenweise addiert und mit reellen bzw. komplexen Zahlen multipliziert werden. Sind etwa $(x_n)_n = (x_1,x_2,x_3,\ldots)$ und $(y_n)_n = (y_1,y_2,y_3,\ldots)$ solche Folgen und ist $\alpha\in {\mathbb K}$, so ist

$(x_n)_n + (y_n)_n := (x_n+y_n)_n = (x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,\ldots)$

$\alpha \cdot (x_n)_n := (\alpha x_n)_n = (\alpha x_1, \alpha x_2, \alpha x_3, \ldots)$.

Es ist klar, dass ω mit diesen Operationen ein $\mathbb K$-Vektorraum ist. Folgenräume sind Unterräume dieses Vektorraums, die, um eine Mindestreichhaltigkeit zu sichern, alle Folgen e⁽ⁿ⁾, die an der n-ten Stelle 1 und sonst überall 0 sind, enthalten.

Der kleinste Folgenraum ist damit der von den Folgen e⁽ⁿ⁾ erzeugte Unterraum. Dieser wird mit c₀₀ bezeichnet und besteht aus allen Folgen, die nur an endlichen vielen Stellen von 0 verschieden sind. Man nennt ihn daher auch den Raum der endlichen Folgen, wobei man sich jede endliche Folge durch Nullen zu einer unendlichen Folge fortgesetzt denkt. Also sind Folgenräume Unterräume von ω, die c₀₀ enthalten.

Der Umstand, dass die Elemente eines Folgenraums Folgen sind, die man als Elemente eines Vektorraums auch einfach Punkte oder Vektoren nennt, kann zu Missverständnissen führen. Insbesondere wenn man Folgen in solchen Räumen betrachtet, hat man es mit Folgen von Folgen zu tun.

Wir werden gleich Normen bzw. Systeme von Normen oder Halbnormen auf Folgenräumen definieren und dadurch normierte Räume bzw. lokalkonvexe Räume erhalten.

c₀ und c

Die wohl bekanntesten Folgenräume sind der Raum c₀ aller gegen 0 konvergenten Folgen und der Raum c aller konvergenten Folgen. Betrachtet man auf diesen Räumen die Supremumsnorm, d.h. $\|(x_n)_n\|_\infty := \sup_{n\in {\mathbb N}}|x_n|$, so erhält man Banachräume. c₀ ist ein 1-kodimensionaler Unterraum von c. Bezeichnet nämlich e die konstante Folge, die an jeder Stelle gleich 1 ist, so gilt offenbar $c = c_0 \oplus {\mathbb K}\cdot e$. Mit der komponentenweise erklärten Multiplikation sind c₀ und c Banachalgebren, sogar C^*-Algebren. Weiter kann man zeigen, dass $c_{00} \subset c_0$ dicht liegt. Beide Räume sind damit separabel, denn die Menge aller endlichen Folgen mit Werten aus $\mathbb Q$ bzw. ${\mathbb Q}+i{\mathbb Q}$ ist abzählbar und dicht.

l^p

Es sei $\ell^\infty$ der Raum der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm. Für $0 < p < \infty$ sei

$\ell^p := \{(x_n)_n \in \omega;\, \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p < \infty \}$.

Ist 0 < p < 1, so erhält man durch die Definition $d_p((x_n)_n, (y_n)_n) := \sum_{n=1}^\infty |x_n-y_n|^p$ eine Metrik, die $\ell^p$ zu einem vollständigen topologischen Vektorraum macht, der kein normierter Raum ist. Für $1 \le p &amp;lt; \infty$ wird durch

$\|(x_n)_n\|_p := \left( \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}}$

eine Norm definiert (dazu benötigt man die Minkowski-Ungleichung), die $\ell^p$ zu einem Banachraum macht. Der Unterraum c₀₀ liegt dicht und es folgt die Separabilität von $\ell^p$ für $p&amp;lt;\infty$. Der Raum $\ell^\infty$ ist nicht separabel. Ist nämlich $A\subset \mathbb N$, so sei χ_A die Folge, die an jeder Komponente aus A gleich 1 und sonst 0 ist. Dann haben die überabzählbar vielen Folgen χ_A paarweise den $\|\cdot\|_\infty$-Abstand 1 voneinander, weshalb $\ell^\infty$ nicht separabel sein kann.

Die $\ell^p$-Räume sind ein Spezialfall der allgemeineren L^p-Räume, wenn man das Zählmaß auf dem Raum $\mathbb N$ betrachtet.

Unter den $\ell^p$-Räumen befindet sich der Hilbertraum $\ell^2$; nach dem Satz von Fischer-Riesz ist das bis auf isometrische Isomorphie der einzige unendlich-dimensionale separable Hilbertraum. Alle $\ell^p$-Räume sind mit der komponentenweisen Multiplikation Banachalgebren, $\ell^2$ ist eine H^*-Algebra, $\ell^\infty$ eine C^*-Algebra, sogar eine von-Neumann-Algebra.

Dualität

Man sagt, der normierte Folgenraum E hat den normierten Folgenraum F als Dualraum, wenn folgendes gilt:

1. Für alle $(x_n)_n \in E$ und $(y_n)_n\in F$ ist $\sum_{n=1}^\infty |x_n y_n| &amp;lt; \infty$
2. Jedes y = (y_n)_n definiert durch $\phi_y((x_n)_n) := \sum_{n=1}^\infty x_n y_n$ ein stetiges lineares Funktional auf E.
3. Die Abbildung $\phi: F \rightarrow E\,', y\mapsto \phi_y$ ist surjektiv und isometrisch.

In diesem Sinne liegen folgende Dualitäten vor:

• $c_O\,^' = \ell^1$, $c\,' = \ell^1$
• $\ell^1\,' = \ell^{\infty}$
• Ist $1 &amp;lt; p,q &amp;lt; \infty$ und $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$, so ist $\ell^p\,' = \ell^q$.

Lokalkonvexe Räume

Rein algebraisch hat man die Isomorphien $c_{00} \cong \bigoplus_{n=1}^\infty {\mathbb K}$ und $\omega \cong \prod_{n=1}^\infty {\mathbb K}$. Damit kann man auf c₀₀ die Summentopologie, d.h. die Finaltopologie aller Inklusionen ${\mathbb K}^n \subset c_{00}$, definieren, was diesen Raum zu einem LF-Raum macht. ω wird durch die Produkttopologie, d.h. durch die Topologie der komponentenweisen Konvergenz, zu einem lokalkonvexen Raum.

Die oben definierte Dualität für normierte Folgenräume lässt sich auf lokalkonvexe Räume verallgemeinern, wenn man Punkt 3 durch die folgende Forderung ersetzt:

• Die Abbildung $\phi: F \rightarrow E\,', y\mapsto \phi_y$ ist ein Homöomorphismus.

Dann gilt c₀₀' = ω und $\omega\,' = c_{00}$.

Köthe-Räume

Die folgende auf Gottfried Köthe zurückgehende Konstruktion von lokalkonvexen Folgenräumen bietet ein reichhaltiges Arsenal an Beispielen.

Unter einer Köthe-Matrix versteht man eine unendliche Matrix A = (a_n,m)_n,m mit folgenden Eigenschaften:

• $a_{n,m} \ge 0$ für alle Matrixelemente und zu jedem n gibt es ein m mit a_n,m > 0.
• $a_{n,m} \le a_{n,m+1}$ für alle Indizes n,m.

Mit diesen Daten werden nun die folgenden Räume definiert, wobei $1 \le p &amp;lt;\infty$ sei:

$\lambda^p(A) := \{(x_n)_n \in \omega: \|(x_n)_n\|_m := (\sum_{n=1}^\infty |x_n\cdot a_{n,m}|^p)^\frac{1}{p} &amp;lt; \infty\,\,\forall m\in{\mathbb N}\}$

$\lambda^\infty(A) := \{(x_n)_n \in \omega: \|(x_n)_n\|_m := \sup_{n\in{\mathbb N}}|x_n|\cdot a_{n,m} &amp;lt; \infty \,\,\forall m\in{\mathbb N}\}$

$c_0(A) := \{(x_n)_n \in \lambda^\infty: \lim_{n\to\infty} |x_n|\cdot a_{n,m} = 0 \,\,\forall m\in{\mathbb N}\}$.

Diese Räume heißen die durch die Köthe-Matrix definierten Köthe-Räume (oder auch Köthe'sche Stufenräume), die Normen $\|\cdot\|_m$ heißen die zugehörigen kanonischen Normen. Jeder dieser Räume wird mit dem System der kanonischen Normen ein lokalkonvexer Raum, sogar ein Fréchet-Raum.

Wählt man als Köthe-Matrix die Matrix I, die an jeder Komponente gleich 1 ist, so erhält man die oben definierten normierten Räume zurück: $\lambda^p(I) = \ell^p$, c₀(I) = c₀. Indem man Köthe-Matrizen wählt, deren Matrix-Elemente ein bestimmtes Wachstumsverhalten zeigen, kann man Beispiele für ganz andere Raumklassen konstruieren.

So gilt z.B.:

Für eine Köthe-Matrix A = (a_n,m)_n,m sind folgende Aussagen äquivalent:

• Für jedes $p\in [1,\infty]$ ist λ^p(A) ein Montel-Raum.
• c₀(A) ist eine Montel-Raum.
• Zu jeder unendlichen Teilmenge $N\subset \mathbb N$ und jedem $m\in \mathbb N$ gibt es gibt es ein $k\in \mathbb N$, so dass $\inf_{n\in N}\frac{a_{n,m}}{a_{n,k}} = 0$.

Für eine Köthe-Matrix A = (a_n,m)_n,m sind folgende Aussagen äquivalent:

• Für jedes $p\in [1,\infty]$ ist λ^p(A) ein Schwartz-Raum.
• Zu jedem $m\in \mathbb N$ gibt es ein $k \ge m$, so dass $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n,m}}{a_{n,k}} = 0$.

Für eine Köthe-Matrix A = (a_n,m)_n,m sind folgende Aussagen äquivalent:

• Für jedes $p\in [1,\infty]$ ist λ^p(A) ein nuklearer Raum.
• c₀(A) ist eine nuklearer Raum.
• Zu jedem $m\in \mathbb N$ gibt es ein $k \ge m$, so dass $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n,m}}{a_{n,k}} &amp;lt; \infty$.

Als Anwendung dieser Aussagen kann man durch Wahl einer geeigneten Köthe-Matrix Beispiele für Montel-Räume konstruieren, die keine Schwartz-Räume sind. Derartige Beispiele sind sehr wichtig, um etwas Ordnung in den Zoo der lokalkonvexen Räume zu bringen.

Für die Matrix A = (n^m)_n,m nennt man s: = λ¹(A) den Raum der schnell fallenden Folgen. Dieser Raum s spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der nuklearen Räume, denn nach dem Satz von Kōmura-Kōmura ist dieser Raum ein Generator aller nuklearen Räume.

Literatur

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume. Lecture Notes in Mathematics 56, 1968.
• H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981, ISBN 3-519-02224-9.
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8.