Isospin

Isospin ist eine mit einer inneren Symmetrie verbundene Quantenzahl in der Theorie der Elementarteilchen.

Allgemeiner wird das Konzept (so auch in der Festkörperphysik) verwendet, um Zweizustandssysteme zu beschreiben. Hierbei werden die beiden quantenmechanischen Zustände als gegensätzliche Orientierungen des Isospins aufgefasst (±I_z). Befindet sich das System in einer Überlagerung der beiden Zustände, so wird das durch die beiden anderen Komponenten (I_x,I_y) beschrieben. Es wird dann von einem Isospin gesprochen, da das System genauso erscheint wie ein Spin-1/2 Teilchen, obwohl es sich nicht notwendigerweise um einen Spin handelt.

Entstehung

Bei Streuprozessen an Spiegelkernen wurde festgestellt, dass die Starke Wechselwirkung nicht zwischen den neutralen Neutronen und positiv geladenen Protonen unterscheidet, d. h. dass sie ladungsunabhängig wirkt. Bezüglich der Kernkraft sind Neutron und Proton also identische Teilchen. Ihr geringfügiger Massenunterschied ist demzufolge durch ihre unterschiedliche elektrische Ladung bedingt. Auf der Basis dieser Tatsachen und Vermutungen folgerte Werner Heisenberg 1932, dass Proton und Neutron zwei verschiedene Ladungszustände ein und desselben Teilchens, des Nukleons, sind. Zur weiteren Beschreibung entlieh er den quantenmechanischen Spinformalismus.

Zum Verständnis betrachtet man das analoge Verhalten bei Elektronen. Diese treten in zwei „Ausprägungen“ auf (Spin-up und Spin-down), diese sind jedoch durch eine rein elektrische Kraft nicht unterscheidbar. Elektronen mit unterschiedlichem Spin verhalten sich bezüglich der elektrischen Kraft also wie identische Teilchen, so wie sich Nukleonen bezüglich der Starken Wechselwirkung identisch verhalten.

Der Isospinformalismus

Wie der normale Spin der fundamentalen Fermionen (wie beispielsweise des Elektrons) hat der Isospin den Wert 1/2. Die kanonisch verwendete dritte Komponente des Isospins I_z (oft auch mit I₃ bezeichnet) repräsentiert die Einstellung des Spins und weist zwei mögliche Werte +1/2 und −1/2 auf. Das Proton ist dann ein Nukleon mit I_z=+1/2, während ein Neutron ein Nukleon mit I_z=−1/2 ist. (Diese Zuweisung findet in manchen Büchern auch andersherum statt und ist nur eine Konvention, die egal ist, solange die Konsistenz gewahrt wird.)

Im Quarkmodell stehen die beiden Quarks u (up: oben) und d (down: unten) für die beiden Isospineinstellungen +1/2, beziehungsweise −1/2. Die Quarks s, c, b und t tragen keinen Isospin. Für Antiquarks ändert sich das Vorzeichen von I_z. Damit ist I_z wie folgt durch die Anzahl der u und d Quarks sowie der zugehörigen Antiquarks gegeben:

$I_z = \frac{1}{2}\Big((n_u - n_{\bar u}) - (n_d - n_{\bar d})\Big)$

Der Unterschied zwischen Proton p und Neutron n resultiert aus der jeweiligen Zusammensetzung p = uud, n = udd.

Im Rahmen der Quantenfeldtheorie wird dem Isospin ein zweidimensionaler, komplexer Vektorraum zugeordnet, in dem sich die Quarks u und d als Basisvektoren darstellen lassen:

$\mathbf{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \mathbf{d} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right).$

Dadurch ist es möglich, die Umwandlung von Nukleonen zu beschreiben, wie sie im radioaktiven Zerfall stattfindet: $\mathbf{n} \to \mathbf{p} + e^- + \bar \nu$. Dies ist eine Transformation der SU(2)-Symmetrie, die in der Theorie der schwachen Wechselwirkung beschrieben wird.

Mathematisch werden diese Transformationen durch Leiteroperatoren vermittelt, die den Eichbosonen der Feldtheorie zugeordnet werden. So wird beispielsweise der Übergang $\mathbf{d} \rightarrow \mathbf{u}$ durch die Matrixgleichung

$\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right)$

beschrieben.

Erweiterung auf schwachen Isospin

Neben dem oben besprochenen starken Isospin, der zur Klassifizierung aller Hadronen genutzt wird, lässt sich auch für Leptonen und Quarks ein sogenannter schwacher Isospin T einführen, der die einzelnen Familien in schwache Isospin-Dubletts gruppiert. Der Grund für diese Gruppierung ist die Tatsache, dass man Übergänge innerhalb dieser Dubletts beobachtet und dass sich die Teilchen innerhalb eines Dubletts bezüglich der schwachen Wechselwirkung wie identische Teilchen verhalten.

$\left( \begin{matrix} \nu_e \\ e^- \end{matrix} \right)_L, \left( \begin{matrix} \nu_{\mu} \\ \mu^- \end{matrix} \right)_L, \left( \begin{matrix} \nu_{\tau} \\ \tau^- \end{matrix} \right)_L, \left( \begin{matrix} u \\ d' \end{matrix} \right)_L, \left( \begin{matrix} c \\ s' \end{matrix} \right)_L, \left( \begin{matrix} t \\ b' \end{matrix} \right)_L$

d', s', b' sind hierbei die Eigenzustände der Quarks bezüglich der schwachen Wechselwirkung, welche durch die CKM-Matrix mit den Eigenzuständen der starken Wechselwirkung verknüpft sind. Der Index L deutet darauf hin, dass es nur für linkshändige Teilchen Übergänge innerhalb eines Dubletts gibt, welche durch geladene schwache Ströme vermittelt werden. Rechtshändige Teilchen treten nur in Singuletts auf, da es keine rechtshändigen Neutrinos gibt (siehe Goldhaber-Experiment), und es keine neutralen schwache Ströme gibt die die Quarksorte ändern:

$e_R^-, \mu_R^-, \tau_R^-, u_R, d_R, s_R, c_R, b_R, t_R$

Der Betrag des schwachen Isospins der linkshändigen Dubletts ist 1/2 und der der rechtshändigen Singuletts ist 0. Die dritte Komponente des schwachen Isospins T_z (synonym T₃) ist +1/2 für die neutralen Teilchen und −1/2 für die geladenen Leptonen der Dubletts. Den positiv geladenen Quarks wird die T_z Komponente +1/2, den negative geladenen Quarks -1/2, zugeordnet. Mit Hilfe der Gell-Mann-Nishijima-Formel lässt sich somit allen Teilchen eine schwache Hyperladung Y_W = 2 (Q – T_z) zuordnen. Für linkshändige Leptonen ist diese Y_Wl = − 1, während alle linkshändigen Quarks Y_Wq=+1/3 tragen.

Literatur

• Bogdan Povh et al.: Teilchen und Kerne. Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-36685-0.