Iwan Iwanowitsch Schegalkin

Iwan Iwanowitsch Schegalkin (Иван Иванович Жегалкин; wiss. Transliteration Ivan Ivanovič Žegalkin) (* 22. Juli^jul./ 3. August 1869^greg. in Mzensk; † 28. März 1947 in Moskau ) war ein russischer Logiker und Mathematiker.

Schegalkin war von 1902 bis 1911 Dozent und von 1917 bis 1947 Professor an der Moskauer Universität. Er war einer der Gründer der sowjetischen Schule der mathematischen Logik. 1927 entwickelte er einen algebraischen Logikkalkül, der die Logik von George Boole optimiert und später als boolescher Ring bezeichnet wurde.

Aussagenkalkül

Schegalkins baute seinen Aussagenkalkül auf der Konjunktion UND als Multiplikation und der ausschließenden Disjunktion ENTWEDER-ODER als Addition auf und formulierte folgendes Axiomensystem:

• assoziativ: (ab)c=a(bc)
• kommutativ: ab=ba
• neutral: 1a=a
• nihil: 0a=0
• idempotent: aa=a
• assoziativ: (a+b)+c=a+(b+c)
• kommutativ: a+b=b+a
• neutral: 0+a=a
• selbstinvers: a+a=0
• distributiv: (a+b)c=ac+bc

Die Regel »nihil« ist überflüssig und beweisbar: 0a=(a+a)a=aa+aa=0. Die Regel »selbstinvers« gilt in Booles originaler Algebra nicht; er nannte und gebrauchte nur die übrigen Axiome. Diese Regel ist aber entscheidend, denn sie macht aus Booles Kalkül, der auch logisch sinnlose Formeln enthält, einen selbständigen Logikkalkül, in der alle Formeln eine logische Bedeutung tragen. Man findet »selbstinvers« schon 1891 bei Giuseppe Peano, bei dem aber das zweite Neutralgesetz und das Distributivgesetz fehlen.^[1] Das vollständige Axiomensystem stellte Schegalkin zum ersten Mal auf. Durch die Definition –a=a entsteht ein Boolescher Ring, den Stone 1934/1936 einführte, inspiriert durch Schegalkin. Durch die Definitionen $a\and b=ab$ und $a\or b=a+b+ab$ und $\neg a=1+a$ entsteht eine Boolesche Algebra im modernen Sinn.

Schriften

Mit französischer Rezension:

• О технике вычислений предложений в символической логике (Žegalkin, I. I.: Sur le calcul des propositions dans la logique symbolique), in: Matematicheskij Sbornik 34 (1927), 9-28.
• Арифметизация Символической Логики (Žegalkin, I. I.: L'arithmetisation de la logique symbolique), in: Matematicheskij Sbornik 35 (1928), 311-377.

Literatur

• D. A. Vladimirov: Boolesche Algebren. In deutscher Sprache herausgegeben von G. Eisenreich. Berlin 1972.

Einzelnachweise

1. ↑ Peano: Opere scelte II, Regeln S. 107 (3.)(5.), S. 109 (2.), S. 125 (25.)-(28.) mit o statt + notiert; 1895 erweitert mit Neutralgesetz in: Peano: Opere scelte II, Regeln S. 177f (6.)(10.), S. 181f (2.)(4'.)(25.)-(28.)